Интегрирование тригонометрических функций

Найти интеграл: $\displaystyle \int \cos^{5}x\, dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin^{6}x\, dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \cos^{6}x\, dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin^{2}x\cos^{4}x\, dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin^{4}x\cos^{5}x\, dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin^{5}x\cos^{5}x\, dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin^{3}x}{\cos^{4}x} dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\cos^{4}x}{\sin^{3}x} dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin^{3}x}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\cos^{3}x}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin^{4}x\cos^{4}x}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin^{3}x\cos^{5}x}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin x\cos^{4}x}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \tg^{5}x\, dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \ctg^{6}x\, dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin^{4}x}{\cos^{6}x} dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{\sin^{3}x\cos^{5}x}}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\cos x\sqrt[3]{\sin^{2}x}}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{\tg x}}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt[3]{\tg x}}$.

Вывести формулы понижения для интегралов:

Вывести формулы понижения для интегралов:

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin 5x\cos x\, dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \cos x\cos 2x\cos 3x\, dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin x\sin \dfrac {x}{2}\sin \dfrac {x}{3} dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin x\sin (x+a)\sin (x+b) dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \cos^{2}ax\cos^{2}bx\, dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin^{3}2x\cos^{2}3x\, dx$.

Применяя тождества для $\sin (\alpha -\beta )$ и $\cos (\alpha -\beta )$, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin (x+a)\sin (x+b)}$.

Применяя тождества для $\sin (\alpha -\beta )$ и $\cos (\alpha -\beta )$, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin (x+a)\cos (x+b)}$.

Применяя тождества для $\sin (\alpha -\beta )$ и $\cos (\alpha -\beta )$, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\cos (x+a)\cos (x+b)}$.

Применяя тождества для $\sin (\alpha -\beta )$ и $\cos (\alpha -\beta )$, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin x-\sin \alpha }$.

Применяя тождества для $\sin (\alpha -\beta )$ и $\cos (\alpha -\beta )$, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\cos x+\cos a}$.

Применяя тождества для $\sin (\alpha -\beta )$ и $\cos (\alpha -\beta )$, найти интеграл: $\displaystyle \int \tg x\cdot \tg (x+a) dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{2\sin x-\cos x+5}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(2+\cos x)\sin x}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin^{2}x}{\sin x+2\cos x} dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{1+\varepsilon \cos x}$:

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin^{2}x}{1+\sin^{2}x} dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\cos^{2}x\, dx}{(a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x)^{2}}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x\cos x}{\sin x+\cos x} dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(a\sin x+b\cos x)^{2}}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x\, dx}{\sin^{3}x+\cos^{3}x}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin^{4}x+\cos^{4}x}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin^{2}x\cos^{2}x}{\sin^{6}x+\cos^{6}x} dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin^{2}x-\cos^{2}x}{\sin^{4}x+\cos^{4}x} dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x\cos x}{1+\sin^{4}x} dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin^{6}x+\cos^{6}x}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(\sin^{2}x+2\cos^{2}x)^{2}}$.

Найти интеграл $\displaystyle \int \dfrac {dx}{a\sin x+b\cos x}$, приведя знаменатель к логарифмическому виду.

Доказать, что

где $A$, $B$, $C$ — постоянные.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x-\cos x}{\sin x+2\cos x} dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x}{\sin x-3\cos x} dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{3+5\tg x}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {a_{1}\sin x+b_{1}\cos x}{(a\sin x+b\cos x)^{2}} dx$.

Доказать, что

где $A$, $B$, $C$ — некоторые постоянные коэффициенты.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x+2\cos x-3}{\sin x-2\cos x+3} dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x}{\sqrt{2}+\sin x+\cos x} dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {2\sin x+\cos x}{3\sin x+4\cos x-2} dx$.

Доказать, что

где $A$, $B$, $C$ — постоянные коэффициенты.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin^{2}x-4\sin x\cos x+3\cos^{2}x}{\sin x+\cos x} dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin^{2}x-\sin x\cos x+2\cos^{2}x}{\sin x+2\cos x} dx$.

Доказать, что если $(a-c)^{2}+b^{2}\neq 0$, то

где $A$, $B$ — неопределенные коэффициенты, $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$ — корни уравнения

$u_{i}=(a-\lambda_{i})\sin x+b\cos x$ и $k_{i}=\dfrac {1}{a-\lambda_{i}}$ ($i=1,2$).

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {2\sin x-\cos x}{3\sin^{2}x+4\cos^{2}x} dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {(\sin x+\cos x) dx}{2\sin^{2}x-4\sin x\cos x+5\cos^{2}x}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x-2\cos x}{1+4\sin x\cos x} dx$.

Доказать, что

где $A$, $B$, $C$ — неопределенные коэффициенты.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(\sin x+2\cos x)^{3}}$.

Доказать, что

и определить коэффициенты $A$, $B$ и $C$, если $n$ — натуральное число, большее единицы.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x\, dx}{\cos x\sqrt{1+\sin^{2}x}}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin^{2}x}{\cos^{2}x\sqrt{\tg x}} dx$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x\, dx}{\sqrt{2+\sin 2x}}$.

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(1+\varepsilon \cos x)^{2}}$ ($0<\varepsilon <1$).

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\cos^{n-1}\dfrac {x+a}{2}}{\sin^{n+1}\dfrac {x-a}{2}} dx$.

Вывести формулу понижения для интеграла

($n$ — натуральное число).