Линейные операторы в банаховом пространстве

Докажите предложение 1.3: если $\mathscr {X}$ и $\mathscr {Y}$ — банаховы пространства, $A, B \in \mathcal{B}(\mathscr {X}, \mathscr {Y})$ и $\alpha , \beta \in \mathbb {F}$, то $(\alpha A + \beta B)^* = \alpha A^* + \beta B^*$. Более того, $A^*: (\mathscr {Y}^*, \mathrm{wk}^*) \to (\mathscr {X}^*, \mathrm{wk}^*)$ непрерывен.

Завершите доказательство предложения 1.4: если $\mathscr {X}$ и $\mathscr {Y}$ — банаховы пространства и $A \in \mathcal{B}(\mathscr {X}, \mathscr {Y})$, то:

Проверьте утверждение, сделанное в (1.5): пусть $(X, \Omega , \mu )$ и $M_\phi : L^p(\mu ) \to L^p(\mu )$ такие же, как в примере III.2.2. Если $1 \le p < \infty$ и $1/p + 1/q = 1$, то $M_\phi^*: L^q(\mu ) \to L^q(\mu )$ задаётся как $M_\phi^* f = \phi f$. То есть $M_\phi^* = M_\phi$.

Проверьте утверждение, сделанное в (1.6): пусть $K$ и $k$ такие же, как в примере III.2.3. Если $1 \le p < \infty$ и $1/p + 1/q = 1$, то $K^*: L^q(\mu ) \to L^q(\mu )$ — интегральный оператор с ядром $k^*(x, y) \equiv k(y, x)$.

Проверьте утверждение, сделанное в (1.7): пусть $X$, $Y$, $\tau$ и $A$ такие же, как в примере III.2.4. Тогда $A^*: M(Y) \to M(X)$ задаётся как

для всякого борелевского подмножества $\Delta$ пространства $X$ и всякой $\mu$ из $M(Y)$.

Пусть $1 \le p < \infty$ и $S: l^p \to l^p$ определён как $S(\alpha_1, \alpha_2, \ldots ) = (0, \alpha_1, \alpha_2, \ldots )$. Вычислите $S^*$.

Пусть $A \in \mathcal{B}(c_0)$ и для $n \ge 1$ определим $e_n$ в $c_0$ как $e_n(n) = 1$ и $e_n(m) = 0$ при $m \ne n$. Положим $\alpha_{mn} = (Ae_n)(m)$ для $m, n \ge 1$.

Пусть $A \in \mathcal{B}(l^1)$ и для $n \ge 1$ определим $e_n$ в $l^1$ как $e_n(n) = 1$, $e_n(m) = 0$ при $m \ne n$. Положим $\alpha_{mn} = (Ae_n)(m)$ для $m, n \ge 1$.

(Бонсолл [1986]) Пусть $\mathscr {X}$ — банахово пространство, $Z$ — непустое множество и $u: Z \to \mathscr {X}$. Если существуют положительные постоянные $M_1$ и $M_2$ такие, что (i) $\left\| u(z)\right\| \le M_1$ для всех $z$ из $Z$ и (ii) для всякого $x^*$ из $\mathscr {X}$, $\sup \left\{ \left|\langle u(z), x^* \rangle \right|: z \in Z\right\} \ge M_2 \left\| x^*\right\|$; тогда для всякого $x$ из $\mathscr {X}$ найдётся $f$ в $l^1(Z)$ такое, что $(*)\ x = \sum \left\{ f(z)u(z): z \in Z\right\}$ и $M_2 \inf \left\| f\right\|_1 \le \left\| x\right\| \le M_1 \inf \left\| f\right\|_1$, где инфимум берётся по всем $f$ в $l^1(Z)$ таким, что $(*)$ выполнено.

(Бонсолл [1986]) Пусть $m$ — нормированная мера Лебега на $\partial \mathbb {D}$ и при $\left|z\right| < 1$ и $\left|w\right| = 1$ положим $p_z(w) = (1 - \left|z\right|^2)/\left|1 - \bar{z}w\right|^2$. Таким образом, $p_z$ — ядро Пуассона. Покажите, что если $f \in L^1(m)$, то найдутся последовательность $\left\{ z_n\right\} \subseteq \mathbb {D}$ и последовательность $\left\{ \lambda_n\right\}$ в $l^1$ такие, что $(*)\ f = \sum_{n=1}^{\infty } \lambda_n p_{z_n}$. Более того, $\left\| f\right\|_1 = \inf \sum_{n=1}^{\infty } \left|\lambda_n\right|$, где инфимум берётся по всем $\left\{ \lambda_n\right\}$ в $l^1$ таким, что $(*)$ выполнено.

Если $\mathscr {X}$ и $\mathscr {Y}$ — банаховы пространства и $B \in \mathcal{B}(\mathscr {Y}^*, \mathscr {X}^*)$, то существует оператор $A$ в $\mathcal{B}(\mathscr {X}, \mathscr {Y})$ такой, что $B = A^*$, тогда и только тогда, когда $B$ является $\mathrm{wk}^*$-непрерывным.

Если $\mathscr {X}$ — банахово пространство и $\mathscr {M}$ и $\mathscr {N}$ — замкнутые подпространства, покажите, что следующие утверждения эквивалентны.

Если $\mathscr {X}$ рефлексивно и $A \in \mathcal{B}(\mathscr {X}, \mathscr {Y})$, покажите, что $A(\mathrm{ball}\ \mathscr {X})$ замкнуто в $\mathscr {Y}$.

Докажите предложение 3.5. Пусть $\mathscr {X}$, $\mathscr {Y}$ и $\mathscr {Z}$ — банаховы пространства.

Если $A \in \mathcal{B}_0(\mathscr {X}, \mathscr {Y})$, покажите, что $\mathrm{cl}[\mathrm{ran}\ A]$ сепарабельно.

Если $A \in \mathcal{B}_0(\mathscr {X}, \mathscr {Y})$ и $\mathrm{ran}\ A$ замкнут, покажите, что $\mathrm{ran}\ A$ конечномерен.

Если $A \in \mathcal{B}_0(\mathscr {X})$ и $A$ обратим, покажите, что $\dim \mathscr {X} < \infty$.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — конечное пространство с мерой, $1 < p < \infty$ и $1/p + 1/q = 1$. Если $k: X \times X \to \mathbb {F}$ — $\Omega \times \Omega$-измеримая функция такая, что $\sup \left\{ \int \left|k(x, y)\right|^q\, d\mu (y): x \in X\right\} < \infty$, то $(Kf)(x) = \int k(x, y) f(y)\, d\mu (y)$ определяет компактный оператор на $L^p(\mu )$.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — произвольное пространство с мерой, $1 < p < \infty$ и $1/p + 1/q = 1$. Если $k: X \times X \to \mathbb {F}$ — $\Omega \times \Omega$-измеримая функция такая, что

и если $(Kf)(x) = \int k(x, y) f(y)\, d\mu (y)$, то $K \in \mathcal{B}_0(L^p(\mu ))$ и $\left\| K\right\| \le M$.

Пусть $X$ — компактное пространство и $\mu$ — положительная борелевская мера на $X$. Пусть $T \in \mathcal{B}(L^p(\mu ), C(X))$, где $1 < p < \infty$. Покажите, что если $A: L^p(\mu ) \to L^p(\mu )$ определён как $Af = Tf$, то $A$ компактен.

(Б.Дж. Петтис) Если $\mathscr {X}$ рефлексивно и $T \in \mathcal{B}(\mathscr {X}, l^1)$, то $T$ — компактный оператор. Кроме того, если $\mathscr {Y}$ рефлексивно и $T \in \mathcal{B}(c_0, \mathscr {Y})$, то $T$ компактен.

Если $X$ компактно и $\left\{ f_1, \ldots , f_n, g_1, \ldots , g_n\right\} \subseteq C(X)$, определим $k(x, y) = \sum_{j=1}^{n} f_j(x) g_j(y)$ для $x, y \in X$. Пусть $\mu$ — регулярная борелевская мера на $X$ и положим $Kf(x) = \int k(x, y) f(y)\, d\mu (y)$. Покажите, что $K \in \mathcal{B}(C(X))$ и $K$ имеет конечный ранг.

Если $X$ компактно, $k \in C(X \times X)$ и $\mu$ — регулярная борелевская мера на $X$, покажите, что $Kf(x) = \int k(x, y) f(y)\, d\mu (y)$ определяет компактный оператор на $C(X)$.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и для $\phi$ из $L^\infty (\mu )$ пусть $M_\phi : L^p(\mu ) \to L^p(\mu )$ — оператор умножения, определённый в примере III.2.2. Дайте необходимые и достаточные условия на $(X, \Omega , \mu )$ и $\phi$, при которых $M_\phi$ компактен.

Пусть $\tau : [0, 1] \to [0, 1]$ непрерывно и $A: C[0, 1] \to C[0, 1]$ определён как $Af = f \circ \tau$. Дайте необходимые и достаточные условия на $\tau$, при которых $A$ компактен.

Пусть $A \in \mathcal{B}(c_0)$ и $(\alpha_{mn})$ — соответствующая матрица, как в упражнении 1.7. Дайте необходимые и достаточные условия на $(\alpha_{mn})$, при которых $A$ компактен.

Пусть $A \in \mathcal{B}(l^1)$ и $(\alpha_{mn})$ — соответствующая матрица, как в упражнении 1.8. Дайте необходимое и достаточное условие на $(\alpha_{mn})$, при котором $A$ компактен.

Если $(X, d)$ — компактное метрическое пространство и $\mathscr {F} \subseteq C(X)$, покажите, что $\mathscr {F}$ равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда для всякого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ такое, что $\left|f(x) - f(y)\right| < \varepsilon$, если $d(x, y) < \delta$ и $f \in \mathscr {F}$.

Если $X$ локально компактно и $\mathscr {F} \subseteq C_0(X)$, покажите, что $\mathscr {F}$ вполне ограничено тогда и только тогда, когда (a) $\mathscr {F}$ ограничено; (b) $\mathscr {F}$ равностепенно непрерывно; (c) для всякого $\varepsilon > 0$ найдётся компактное подмножество $K$ пространства $X$ такое, что $\left|f(x)\right| < \varepsilon$ для всех $f$ из $\mathscr {F}$ и $x$ из $X \setminus K$.

Если $X$ локально компактно и $A \in \mathcal{B}_0(C_0(X))$, то существует последовательность $\left\{ A_n\right\}$ операторов конечного ранга такая, что $\left\| A_n - A\right\| \to 0$.

Пусть $\mathscr {X}$ — банахово пространство и предположим, что существует сеть $\left\{ F_i\right\}$ операторов конечного ранга на $\mathscr {X}$ такая, что (a) $\sup_i \left\| F_i\right\| < \infty$; (b) $\left\| F_i x - x\right\| \to 0$ для всех $x$ из $\mathscr {X}$. Покажите, что если $A \in \mathcal{B}_0(\mathscr {X})$, то $\left\| F_i A - A\right\| \to 0$, и, следовательно, существует последовательность $\left\{ A_n\right\}$ операторов конечного ранга на $\mathscr {X}$ такая, что $\left\| A_n - A\right\| \to 0$.

Пусть $1 \le p \le \infty$ и $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой. Если $A \in \mathcal{B}_0(L^p(\mu ))$, покажите, что существует последовательность $\left\{ A_n\right\}$ операторов конечного ранга такая, что $\left\| A_n - A\right\| \to 0$.

Пусть $X$ компактно и $\mathscr {U}$ — совокупность всех пар $(C, F)$, где $C = \left\{ U_1, \ldots , U_n\right\}$ — конечное открытое покрытие $X$ и $F = \left\{ x_1, \ldots , x_n\right\} \subseteq X$ такое, что $x_j \in U_j$ при $1 \le j \le n$. Если $(C_1, F_1)$ и $(C_2, F_2) \in \mathscr {U}$, определим $(C_1, F_1) \le (C_2, F_2)$ следующим образом:

Пусть $A, B, T \in \mathcal{B}(\mathscr {X})$ таковы, что $TA = BT$. Покажите, что $\mathrm{graph}(T) \in \mathrm{Lat}(A \oplus B)$.

Докажите, что $\mathscr {M} \in \mathrm{Lat}\ T$ тогда и только тогда, когда $\mathscr {M}^\perp \in \mathrm{Lat}\ T^*$. Что делает отображение $\mathscr {M} \mapsto \mathscr {M}^\perp$ из $\mathrm{Lat}\ T$ в $\mathrm{Lat}\ T^*$ с решёточными операциями?

Пусть $\left\{ e_1, e_2, e_3\right\}$ — обычный базис для $\mathbb {F}^3$ и $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb {F}$. Определим $T: \mathbb {F}^3 \to \mathbb {F}^3$ как $Te_j = \alpha_j e_j$, $1 \le j \le 3$.

Обобщите упражнение 3, охарактеризовав $\mathrm{Lat}\ T$, где $T$ определён как $Te_j = \alpha_j e_j$, $1 \le j \le d$, для произвольного выбора скаляров $\alpha_1, \ldots , \alpha_d$ и где $\left\{ e_1, \ldots , e_d\right\}$ — обычный базис для $\mathbb {F}^d$.

Пусть $\left\{ e_1, \ldots , e_d\right\}$ — обычный базис для $\mathbb {F}^d$, $\left\{ \alpha_1, \ldots , \alpha_{d-1}\right\} \subseteq \mathbb {F}$, причём ни одно $\alpha_j = 0$. Если $Te_j = \alpha_j e_{j+1}$ при $1 \le j \le d - 1$ и $Te_d = 0$, найдите $\mathrm{Lat}\ T$.

Если $T \in \mathcal{B}(\mathbb {R}^d)$ и $d \ge 3$, покажите, что $T$ имеет нетривиальное подпространство.

Покажите, что если $T \in \mathcal{B}(\mathscr {X})$ и $\mathscr {X}$ не сепарабельно, то $T$ имеет нетривиальное инвариантное подпространство.

Приведите пример обратимого оператора $T$ на банаховом пространстве $\mathscr {X}$ и инвариантного подпространства $\mathscr {M}$ для $T$ такого, что $\mathscr {M}$ не инвариантно для $T^{-1}$.

Пусть $\mathscr {X}$ — банахово пространство над $\mathbb {C}$, $K \in \mathcal{B}_0(\mathscr {X})$, и покажите, что если $\mathscr {C}$ — максимальная цепь в $\mathrm{Lat}\ K$, то $\mathscr {C}$ — максимальная цепь в решётке всех подпространств $\mathscr {X}$.

Докажите предложение 5.2.

Если $\mathscr {R}$ и $\mathscr {X}$ — банаховы пространства и $\Phi : \mathscr {R} \to \mathscr {X}$ — изометрия, приведите элементарное доказательство того, что $\Phi^*$ сюръективен.

Пусть $\mathscr {X}$ — банахово пространство, вспомните определение слабо фундаментальной последовательности (V.4.4).

Будем говорить, что банахово пространство $\mathscr {X}$ слабо компактно порождено (WCG), если существует слабо компактное подмножество $K$ пространства $\mathscr {X}$ такое, что $\mathscr {X}$ является замкнутой линейной оболочкой $K$. Докажите (Дэвис, Фигель, Джонсон и Пелчинский, [1974]), что $\mathscr {X}$ является WCG тогда и только тогда, когда существуют рефлексивное пространство и инъективный ограниченный оператор $T: \mathscr {R} \to \mathscr {X}$ такие, что $\mathrm{ran}\ T$ плотен.

Если $(X, \Omega , \mu )$ — конечное пространство с мерой, $k \in L^\infty (X \times X, \Omega \times \Omega , \mu \times \mu )$ и $K: L^1(\mu ) \to L^1(\mu )$ определён как $(Kf)(x) = \int k(x, y) f(y)\, d\mu (y)$, покажите, что $K$ слабо компактен и $K^2$ компактен.

Пусть $\mathscr {Y}$ — слабо секвенциально полное банахово пространство. То есть, если $\left\{ y_n\right\}$ — последовательность в $\mathscr {Y}$ такая, что $\left\{ \langle y_n, y^* \rangle \right\}$ — фундаментальная последовательность в $\mathbb {F}$ для всякого $y^*$ из $\mathscr {Y}^*$, то найдётся $y$ из $\mathscr {Y}$ такое, что $y_n \to y$ слабо.