Инвариантные подпространства

Пусть $A, B, T \in \mathcal{B}(\mathscr {X})$ таковы, что $TA = BT$. Покажите, что $\mathrm{graph}(T) \in \mathrm{Lat}(A \oplus B)$.

Докажите, что $\mathscr {M} \in \mathrm{Lat}\ T$ тогда и только тогда, когда $\mathscr {M}^\perp \in \mathrm{Lat}\ T^*$. Что делает отображение $\mathscr {M} \mapsto \mathscr {M}^\perp$ из $\mathrm{Lat}\ T$ в $\mathrm{Lat}\ T^*$ с решёточными операциями?

Пусть $\left\{ e_1, e_2, e_3\right\}$ — обычный базис для $\mathbb {F}^3$ и $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb {F}$. Определим $T: \mathbb {F}^3 \to \mathbb {F}^3$ как $Te_j = \alpha_j e_j$, $1 \le j \le 3$.

Обобщите упражнение 3, охарактеризовав $\mathrm{Lat}\ T$, где $T$ определён как $Te_j = \alpha_j e_j$, $1 \le j \le d$, для произвольного выбора скаляров $\alpha_1, \ldots , \alpha_d$ и где $\left\{ e_1, \ldots , e_d\right\}$ — обычный базис для $\mathbb {F}^d$.

Пусть $\left\{ e_1, \ldots , e_d\right\}$ — обычный базис для $\mathbb {F}^d$, $\left\{ \alpha_1, \ldots , \alpha_{d-1}\right\} \subseteq \mathbb {F}$, причём ни одно $\alpha_j = 0$. Если $Te_j = \alpha_j e_{j+1}$ при $1 \le j \le d - 1$ и $Te_d = 0$, найдите $\mathrm{Lat}\ T$.

Если $T \in \mathcal{B}(\mathbb {R}^d)$ и $d \ge 3$, покажите, что $T$ имеет нетривиальное подпространство.

Покажите, что если $T \in \mathcal{B}(\mathscr {X})$ и $\mathscr {X}$ не сепарабельно, то $T$ имеет нетривиальное инвариантное подпространство.

Приведите пример обратимого оператора $T$ на банаховом пространстве $\mathscr {X}$ и инвариантного подпространства $\mathscr {M}$ для $T$ такого, что $\mathscr {M}$ не инвариантно для $T^{-1}$.

Пусть $\mathscr {X}$ — банахово пространство над $\mathbb {C}$, $K \in \mathcal{B}_0(\mathscr {X})$, и покажите, что если $\mathscr {C}$ — максимальная цепь в $\mathrm{Lat}\ K$, то $\mathscr {C}$ — максимальная цепь в решётке всех подпространств $\mathscr {X}$.