Сопряжённый линейный оператор

Докажите предложение 1.3: если $\mathscr {X}$ и $\mathscr {Y}$ — банаховы пространства, $A, B \in \mathcal{B}(\mathscr {X}, \mathscr {Y})$ и $\alpha , \beta \in \mathbb {F}$, то $(\alpha A + \beta B)^* = \alpha A^* + \beta B^*$. Более того, $A^*: (\mathscr {Y}^*, \mathrm{wk}^*) \to (\mathscr {X}^*, \mathrm{wk}^*)$ непрерывен.

Завершите доказательство предложения 1.4: если $\mathscr {X}$ и $\mathscr {Y}$ — банаховы пространства и $A \in \mathcal{B}(\mathscr {X}, \mathscr {Y})$, то:

Проверьте утверждение, сделанное в (1.5): пусть $(X, \Omega , \mu )$ и $M_\phi : L^p(\mu ) \to L^p(\mu )$ такие же, как в примере III.2.2. Если $1 \le p < \infty$ и $1/p + 1/q = 1$, то $M_\phi^*: L^q(\mu ) \to L^q(\mu )$ задаётся как $M_\phi^* f = \phi f$. То есть $M_\phi^* = M_\phi$.

Проверьте утверждение, сделанное в (1.6): пусть $K$ и $k$ такие же, как в примере III.2.3. Если $1 \le p < \infty$ и $1/p + 1/q = 1$, то $K^*: L^q(\mu ) \to L^q(\mu )$ — интегральный оператор с ядром $k^*(x, y) \equiv k(y, x)$.

Проверьте утверждение, сделанное в (1.7): пусть $X$, $Y$, $\tau$ и $A$ такие же, как в примере III.2.4. Тогда $A^*: M(Y) \to M(X)$ задаётся как

для всякого борелевского подмножества $\Delta$ пространства $X$ и всякой $\mu$ из $M(Y)$.

Пусть $1 \le p < \infty$ и $S: l^p \to l^p$ определён как $S(\alpha_1, \alpha_2, \ldots ) = (0, \alpha_1, \alpha_2, \ldots )$. Вычислите $S^*$.

Пусть $A \in \mathcal{B}(c_0)$ и для $n \ge 1$ определим $e_n$ в $c_0$ как $e_n(n) = 1$ и $e_n(m) = 0$ при $m \ne n$. Положим $\alpha_{mn} = (Ae_n)(m)$ для $m, n \ge 1$.

Пусть $A \in \mathcal{B}(l^1)$ и для $n \ge 1$ определим $e_n$ в $l^1$ как $e_n(n) = 1$, $e_n(m) = 0$ при $m \ne n$. Положим $\alpha_{mn} = (Ae_n)(m)$ для $m, n \ge 1$.

(Бонсолл [1986]) Пусть $\mathscr {X}$ — банахово пространство, $Z$ — непустое множество и $u: Z \to \mathscr {X}$. Если существуют положительные постоянные $M_1$ и $M_2$ такие, что (i) $\left\| u(z)\right\| \le M_1$ для всех $z$ из $Z$ и (ii) для всякого $x^*$ из $\mathscr {X}$, $\sup \left\{ \left|\langle u(z), x^* \rangle \right|: z \in Z\right\} \ge M_2 \left\| x^*\right\|$; тогда для всякого $x$ из $\mathscr {X}$ найдётся $f$ в $l^1(Z)$ такое, что $(*)\ x = \sum \left\{ f(z)u(z): z \in Z\right\}$ и $M_2 \inf \left\| f\right\|_1 \le \left\| x\right\| \le M_1 \inf \left\| f\right\|_1$, где инфимум берётся по всем $f$ в $l^1(Z)$ таким, что $(*)$ выполнено.

(Бонсолл [1986]) Пусть $m$ — нормированная мера Лебега на $\partial \mathbb {D}$ и при $\left|z\right| < 1$ и $\left|w\right| = 1$ положим $p_z(w) = (1 - \left|z\right|^2)/\left|1 - \bar{z}w\right|^2$. Таким образом, $p_z$ — ядро Пуассона. Покажите, что если $f \in L^1(m)$, то найдутся последовательность $\left\{ z_n\right\} \subseteq \mathbb {D}$ и последовательность $\left\{ \lambda_n\right\}$ в $l^1$ такие, что $(*)\ f = \sum_{n=1}^{\infty } \lambda_n p_{z_n}$. Более того, $\left\| f\right\|_1 = \inf \sum_{n=1}^{\infty } \left|\lambda_n\right|$, где инфимум берётся по всем $\left\{ \lambda_n\right\}$ в $l^1$ таким, что $(*)$ выполнено.

Если $\mathscr {X}$ и $\mathscr {Y}$ — банаховы пространства и $B \in \mathcal{B}(\mathscr {Y}^*, \mathscr {X}^*)$, то существует оператор $A$ в $\mathcal{B}(\mathscr {X}, \mathscr {Y})$ такой, что $B = A^*$, тогда и только тогда, когда $B$ является $\mathrm{wk}^*$-непрерывным.

Если $\mathscr {X}$ — банахово пространство и $\mathscr {M}$ и $\mathscr {N}$ — замкнутые подпространства, покажите, что следующие утверждения эквивалентны.