Компактные операторы

Если $\mathscr {X}$ рефлексивно и $A \in \mathcal{B}(\mathscr {X}, \mathscr {Y})$, покажите, что $A(\mathrm{ball}\ \mathscr {X})$ замкнуто в $\mathscr {Y}$.

Докажите предложение 3.5. Пусть $\mathscr {X}$, $\mathscr {Y}$ и $\mathscr {Z}$ — банаховы пространства.

Если $A \in \mathcal{B}_0(\mathscr {X}, \mathscr {Y})$, покажите, что $\mathrm{cl}[\mathrm{ran}\ A]$ сепарабельно.

Если $A \in \mathcal{B}_0(\mathscr {X}, \mathscr {Y})$ и $\mathrm{ran}\ A$ замкнут, покажите, что $\mathrm{ran}\ A$ конечномерен.

Если $A \in \mathcal{B}_0(\mathscr {X})$ и $A$ обратим, покажите, что $\dim \mathscr {X} < \infty$.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — конечное пространство с мерой, $1 < p < \infty$ и $1/p + 1/q = 1$. Если $k: X \times X \to \mathbb {F}$ — $\Omega \times \Omega$-измеримая функция такая, что $\sup \left\{ \int \left|k(x, y)\right|^q\, d\mu (y): x \in X\right\} < \infty$, то $(Kf)(x) = \int k(x, y) f(y)\, d\mu (y)$ определяет компактный оператор на $L^p(\mu )$.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — произвольное пространство с мерой, $1 < p < \infty$ и $1/p + 1/q = 1$. Если $k: X \times X \to \mathbb {F}$ — $\Omega \times \Omega$-измеримая функция такая, что

и если $(Kf)(x) = \int k(x, y) f(y)\, d\mu (y)$, то $K \in \mathcal{B}_0(L^p(\mu ))$ и $\left\| K\right\| \le M$.

Пусть $X$ — компактное пространство и $\mu$ — положительная борелевская мера на $X$. Пусть $T \in \mathcal{B}(L^p(\mu ), C(X))$, где $1 < p < \infty$. Покажите, что если $A: L^p(\mu ) \to L^p(\mu )$ определён как $Af = Tf$, то $A$ компактен.

(Б.Дж. Петтис) Если $\mathscr {X}$ рефлексивно и $T \in \mathcal{B}(\mathscr {X}, l^1)$, то $T$ — компактный оператор. Кроме того, если $\mathscr {Y}$ рефлексивно и $T \in \mathcal{B}(c_0, \mathscr {Y})$, то $T$ компактен.

Если $X$ компактно и $\left\{ f_1, \ldots , f_n, g_1, \ldots , g_n\right\} \subseteq C(X)$, определим $k(x, y) = \sum_{j=1}^{n} f_j(x) g_j(y)$ для $x, y \in X$. Пусть $\mu$ — регулярная борелевская мера на $X$ и положим $Kf(x) = \int k(x, y) f(y)\, d\mu (y)$. Покажите, что $K \in \mathcal{B}(C(X))$ и $K$ имеет конечный ранг.

Если $X$ компактно, $k \in C(X \times X)$ и $\mu$ — регулярная борелевская мера на $X$, покажите, что $Kf(x) = \int k(x, y) f(y)\, d\mu (y)$ определяет компактный оператор на $C(X)$.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и для $\phi$ из $L^\infty (\mu )$ пусть $M_\phi : L^p(\mu ) \to L^p(\mu )$ — оператор умножения, определённый в примере III.2.2. Дайте необходимые и достаточные условия на $(X, \Omega , \mu )$ и $\phi$, при которых $M_\phi$ компактен.

Пусть $\tau : [0, 1] \to [0, 1]$ непрерывно и $A: C[0, 1] \to C[0, 1]$ определён как $Af = f \circ \tau$. Дайте необходимые и достаточные условия на $\tau$, при которых $A$ компактен.

Пусть $A \in \mathcal{B}(c_0)$ и $(\alpha_{mn})$ — соответствующая матрица, как в упражнении 1.7. Дайте необходимые и достаточные условия на $(\alpha_{mn})$, при которых $A$ компактен.

Пусть $A \in \mathcal{B}(l^1)$ и $(\alpha_{mn})$ — соответствующая матрица, как в упражнении 1.8. Дайте необходимое и достаточное условие на $(\alpha_{mn})$, при котором $A$ компактен.

Если $(X, d)$ — компактное метрическое пространство и $\mathscr {F} \subseteq C(X)$, покажите, что $\mathscr {F}$ равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда для всякого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ такое, что $\left|f(x) - f(y)\right| < \varepsilon$, если $d(x, y) < \delta$ и $f \in \mathscr {F}$.

Если $X$ локально компактно и $\mathscr {F} \subseteq C_0(X)$, покажите, что $\mathscr {F}$ вполне ограничено тогда и только тогда, когда (a) $\mathscr {F}$ ограничено; (b) $\mathscr {F}$ равностепенно непрерывно; (c) для всякого $\varepsilon > 0$ найдётся компактное подмножество $K$ пространства $X$ такое, что $\left|f(x)\right| < \varepsilon$ для всех $f$ из $\mathscr {F}$ и $x$ из $X \setminus K$.

Если $X$ локально компактно и $A \in \mathcal{B}_0(C_0(X))$, то существует последовательность $\left\{ A_n\right\}$ операторов конечного ранга такая, что $\left\| A_n - A\right\| \to 0$.

Пусть $\mathscr {X}$ — банахово пространство и предположим, что существует сеть $\left\{ F_i\right\}$ операторов конечного ранга на $\mathscr {X}$ такая, что (a) $\sup_i \left\| F_i\right\| < \infty$; (b) $\left\| F_i x - x\right\| \to 0$ для всех $x$ из $\mathscr {X}$. Покажите, что если $A \in \mathcal{B}_0(\mathscr {X})$, то $\left\| F_i A - A\right\| \to 0$, и, следовательно, существует последовательность $\left\{ A_n\right\}$ операторов конечного ранга на $\mathscr {X}$ такая, что $\left\| A_n - A\right\| \to 0$.

Пусть $1 \le p \le \infty$ и $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой. Если $A \in \mathcal{B}_0(L^p(\mu ))$, покажите, что существует последовательность $\left\{ A_n\right\}$ операторов конечного ранга такая, что $\left\| A_n - A\right\| \to 0$.

Пусть $X$ компактно и $\mathscr {U}$ — совокупность всех пар $(C, F)$, где $C = \left\{ U_1, \ldots , U_n\right\}$ — конечное открытое покрытие $X$ и $F = \left\{ x_1, \ldots , x_n\right\} \subseteq X$ такое, что $x_j \in U_j$ при $1 \le j \le n$. Если $(C_1, F_1)$ и $(C_2, F_2) \in \mathscr {U}$, определим $(C_1, F_1) \le (C_2, F_2)$ следующим образом: