Банк задач по математике

Задача VI.5.1

(a)(b)(c)

Докажите предложение 5.2.

?

(a)

Если $\mathscr {X}$ или $\mathscr {Y}$ рефлексивно, то всякий оператор из $\mathcal{B}(\mathscr {X}, \mathscr {Y})$ слабо компактен.

(b)

Если $T: \mathscr {X} \to \mathscr {Y}$ слабо компактен и $A \in \mathcal{B}(\mathscr {Y}, \mathscr {Z})$ , то $AT$ слабо компактен.

(c)

Если $T: \mathscr {X} \to \mathscr {Y}$ слабо компактен и $B \in \mathcal{B}(\mathscr {Z}, \mathscr {X})$ , то $TB$ слабо компактен.

Задача VI.5.2

Если $\mathscr {R}$ и $\mathscr {X}$ — банаховы пространства и $\Phi : \mathscr {R} \to \mathscr {X}$ — изометрия, приведите элементарное доказательство того, что $\Phi^*$ сюръективен.

?

Задача VI.5.3

(a)(b)

Пусть $\mathscr {X}$ — банахово пространство, вспомните определение слабо фундаментальной последовательности (V.4.4).

?

(a)

Покажите, что всякая ограниченная последовательность в $c_0$ имеет слабо фундаментальную подпоследовательность, но не всякая слабо фундаментальная последовательность в $c_0$ сходится.

(b)

Покажите, что если $T \in \mathcal{B}(c_0)$ и $T$ слабо компактен, то $T$ компактен.

Задача VI.5.4

Будем говорить, что банахово пространство $\mathscr {X}$ слабо компактно порождено (WCG), если существует слабо компактное подмножество $K$ пространства $\mathscr {X}$ такое, что $\mathscr {X}$ является замкнутой линейной оболочкой $K$ . Докажите (Дэвис, Фигель, Джонсон и Пелчинский, [1974]), что $\mathscr {X}$ является WCG тогда и только тогда, когда существуют рефлексивное пространство и инъективный ограниченный оператор $T: \mathscr {R} \to \mathscr {X}$ такие, что $\mathrm{ran}\ T$ плотен.

?

Задача VI.5.5

Если $(X, \Omega , \mu )$ — конечное пространство с мерой, $k \in L^\infty (X \times X, \Omega \times \Omega , \mu \times \mu )$ и $K: L^1(\mu ) \to L^1(\mu )$ определён как $(Kf)(x) = \int k(x, y) f(y)\, d\mu (y)$ , покажите, что $K$ слабо компактен и $K^2$ компактен.

?

Задача VI.5.6

(a)(b)(c)

Пусть $\mathscr {Y}$ — слабо секвенциально полное банахово пространство. То есть, если $\left\{ y_n\right\}$ — последовательность в $\mathscr {Y}$ такая, что $\left\{ \langle y_n, y^* \rangle \right\}$ — фундаментальная последовательность в $\mathbb {F}$ для всякого $y^*$ из $\mathscr {Y}^*$ , то найдётся $y$ из $\mathscr {Y}$ такое, что $y_n \to y$ слабо.

?

(a)

Если $T \in \mathcal{B}(\mathscr {X}, \mathscr {Y})$ и $x^{**} \in \mathscr {X}^{**}$ таковы, что $x^{**}$ является $\sigma (\mathscr {X}^{**}, \mathscr {X}^*)$ -пределом последовательности $\left\{ x_n^{**}\right\}$ из $\mathscr {X}^{**}$ такой, что $T^{**}(x_n^{**}) \in \mathscr {Y}$ для всякого $n$ , покажите, что $T^{**}(x^{**}) \in \mathscr {Y}$ . Пусть $X$ — компактное пространство и положим $\mathscr {F} =$ все подмножества $X$ , являющиеся объединением счётного числа компактных множеств типа $G_\delta$ . Пусть $\mathscr {L} =$ линейная оболочка $\left\{ \chi_F: F \in \mathscr {F}\right\}$ , рассматриваемая как подмножество $M(X)^* = C(X)^{**}$ .

(b)

Покажите, что если $T \in \mathcal{B}(C(X), \mathscr {Y})$ , то $T^{**}(\mathscr {L}) \subseteq \mathscr {Y}$ .

(c)

(Гротендик [1953].) Если $T \in \mathcal{B}(C(X), \mathscr {Y})$ , то $T$ слабо компактен.

Слабо компактные операторы