Дополнения и задачи

Плотность точки попадания $(X, Y)$ в круглую мишень задаётся формулой

Найдите, (а) константу $c$, (б) вероятность $p$ того, что точка попадания окажется в круге радиуса $a < R$ с центром в начале координат.

Случайные величины $X, Y$ удовлетворяют линейному соотношению

где $a, b, c$ — константы. Найдите, (а) корреляцию $\rho (X, Y)$ и (б) отношение $\sigma_{x}/\sigma_{y}$ стандартных отклонений.

Матрица рассеяния (дисперсий--ковариаций) трёхмерного нормального распределения равна

Если $\mu_{x} = \mu_{y} = \mu_{z} = 0$, найдите плотность $f(x, y, z)$ и её максимум.

Совместная плотность $X$ и $Y$ задаётся формулой

Найдите, (а) маргинальные плотности $X$ и $Y$, и (б) условную функцию распределения $F_{X}(x \mid y)$ величины $X$ при условии $Y = y$.

Предположим, что случайная величина $X$ совпадает со случайной величиной $X_{i}$ с вероятностью $p_{i}$, то есть,

Покажите, что

где $\mathbb {P}\left(M = m_{i}\right) = p_{i}$ $(i = 1, 2, \ldots )$.

Случайный вектор $(X, Y, Z)$ имеет плотность $f(x, y, z)$. $X, Y, Z$ можно наблюдать только одновременно. Наблюдение дало значения $u, v, w$ без знания соответствия между ними и $X, Y, Z$. Найдите вероятность того, что $X = u$, $Y = v$ и $Z = w$.

Совместная функция распределения $F(x, y)$ случайных величин $X$ и $Y$ задаётся формулой

Найдите, (а) функцию плотности $f(x, y)$, и (б) матрицу рассеяния.

Нормальная плотность точки $A = (X_{1}, X_{2}, X_{3})$ задаётся формулой

Какова вероятность того, что $A$ попадёт в эллипсоид с главными полуосями $E_{1}, E_{2}, E_{3}$ вдоль осей $Ox, Oy, Oz$, где $E_{1}, E_{2}, E_{3}$ — вероятные ошибки $X, Y, Z$ соответственно, т.е.,

Вектор $(X, Y)$ имеет равномерное распределение в эллипсе

Найдите:

Точка $(X, Y, Z)$ равномерно распределена в шаре $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}$. Найдите плотность $Z$ и условную плотность $f(x, y \mid z)$. Обобщите на $n$-мерный шар.

Даны $f_{Y}(y)$, $\mathbb {E}\left[ X \mid y \right]$, $\operatorname {Var}\left[ X \mid y \right]$; найдите $\mathbb {E}\left[X\right]$ и $\operatorname {Var}\left[X\right]$.

Вектор $(X, Y)$ имеет нормальную плотность

Найдите плотности $f_{X}(x)$, $f_{Y}(y)$, $f_{X}(x \mid y)$, $f_{Y}(y \mid x)$ и константу $c$.

Предположим, что $\overrightarrow {X}$ имеет сферически симметричное $n$-мерное распределение, т.е. с плотностью $f(x_{1}^{2} + \cdots + x_{n}^{2})$. Докажите, что плотность $g$ «обобщённой $\chi^{2}$-величины» $U = \overrightarrow {X}'\overrightarrow {X}$ задаётся формулой

где $C_{n}$ — «поверхностная» площадь $n$-мерной сферы, т.е.

(Продолжение задачи 1.13.) Для $n = 2$ покажите, что полярные координаты $(R, \theta )$, где

независимы, $\theta$ равномерно распределена на $[0, 2\pi )$, а $R$ имеет плотность (ср. задачу 221)

(Продолжение задачи 1.14.) Покажите, что коэффициент корреляции, основанный на единственном наблюдении $(X, Y)$, т.е.

имеет плотность

(Продолжение задачи 1.15.) Если $\overrightarrow {X} = (X_{1}, \ldots , X_{n})'$ есть $\mathscr {N}\left(0, I_{n}\right)$, и $\overrightarrow {X}$ разбит на $k$ подвекторов $X_{(1)}, \ldots , X_{(k)}$ с $v_{1}, v_{2}, \ldots , v_{k}$ компонентами соответственно, покажите, что $(X_{(1)}'X_{(1)}, \ldots , X_{(k)}'X_{(k)})/\left|X\right|^{2}$ имеет распределение Дирихле (см. (5.11)) с плотностью $f(t_{1}, \ldots , t_{k-1})$, приведённой ниже.

Формула (5.11), распределение Дирихле: для $x_{1}, \ldots , x_{k}$ с $\sum_{i=1}^{k+1} x_{i} = 1$, $x_{i} \geq 0$,

Искомая здесь плотность $f(t_{1}, \ldots , t_{k-1})$ равна

Отсюда, при $v_{1} = v_{2} = \cdots = v_{s} = 1$, $v_{s+1} = n - s$ $(k = s+1)$,

имеет плотность

а плотность $(X_{1}, \ldots , X_{k})/\left|X\right| \equiv (U_{1}, U_{2}, \ldots , U_{k})$ равна

Это распределение любого $k$-мерного подвектора $n$-мерного вектора

равномерно распределённого на (поверхности) единичной сферы

(Продолжение задачи 1.16.) В общем случае, если $\overrightarrow {X}$ имеет сферическое распределение (см. задачу 1.13), поскольку оно инвариантно относительно вращений в $n$-мерном пространстве, распределение направления $\overrightarrow {X}/\left|X\right|$ совпадает с распределением $\overrightarrow {U}$ и не зависит от его длины $\left|X\right|$ (для любого сферического распределения с $\mathbb {P}\left(\left|X\right| = 0\right) = 0$).

Отсюда заключите, что результаты задачи 1.16 верны, если $\overrightarrow {X}$ — произвольный сферически симметричный случайный вектор.

Пусть $X, Y$ — случайные величины с

Найдите приближённую формулу для

используя линейное разложение $g(x, y)$ в окрестности точки $(\mu , \eta )$ (с точностью до моментов второго порядка). Обобщите результат на $n$ случайных величин.

$X$ и $Y$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с плотностью

Используя задачу 1.18, найдите $\mathbb {E}\left[Z\right]$ и $\operatorname {Var}\left[Z\right]$, где

Основная частота струны определяется формулой

где $F$ — натяжение, $m$ — масса струны, а $L$ — её длина. Если масса считается постоянной, а $F, L$ — случайные величины с $\mathbb {E}\left[F\right] = f$, $\mathbb {E}\left[L\right] = l$, $\operatorname {Var}\left[F\right] = \sigma_{f}^{2}$, $\operatorname {Var}\left[L\right] = \sigma_{l}^{2}$ и $\operatorname {Cov}\left[ F, L \right] = \sigma_{fl}$, найдите приближение для дисперсии $\Omega$.

Пусть вектор $(X, Y)$ имеет плотность $f(x, y)$. Определим комплексные переменные

и $Z_{t} = Ze^{it}$. Докажите, что для того чтобы все $Z_{t}$ имели одинаковое распределение, необходимо, чтобы $f(x, y) = g(x^{2} + y^{2})$ для некоторой плотности $g$ (см. задачу 1.13).

Если $\overrightarrow {X}$ имеет плотность $f$, как в задаче 1.13, покажите, что

имеет плотность вида

и характеристическую функцию вида

Пусть $\rho_{ij} = \rho (X_{i}, X_{j})$ — коэффициент корреляции между $X_{i}, X_{j}$ для $i, j = 1, \ldots , n$. Для $n = 3$ и $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = \rho$ какие значения может принимать $\rho$?

Если $p$-мерный вектор $\overrightarrow {X}$ имеет распределение $\mathscr {N}\left(\mu , \Lambda \right)$, покажите, что квадратичная форма

имеет распределение $\chi_{p}^{2}$ с $p$ степенями свободы и плотностью, задаваемой (ср. задача 1.13)

Энтропия $H$ многомерного распределения с плотностью $f(\overrightarrow {x})$ определяется формулой

Докажите, что для нормального распределения из задачи 1.24

Если $\overrightarrow {X}$ имеет распределение $\mathscr {N}\left(\mu , \Lambda \right)$ с плотностью $f$, найдите плотность $g$ случайной величины

Если $\overrightarrow {X} = (X_{1}, \ldots , X_{n})$ равномерно распределён в симплексе $T$:

покажите, что плотность $\overrightarrow {X}$ равна

Покажите, что $(n-1)$-мерные маргинальные распределения также являются частными случаями распределения Дирихле (5.11).

Формула (5.11), распределение Дирихле: для $x_{1}, \ldots , x_{k}$ с $\sum_{i=1}^{k+1} x_{i} = 1$, $x_{i} \geq 0$,

Два человека стреляют по мишени, каждый делает $n$ выстрелов. Используя производящие функции, найдите вероятность $p$ того, что у них будет одинаковое число попаданий, если вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна $0.5$ для каждого из них.

Чтобы получить звание чемпиона по шахматам, соперник должен набрать не менее $12.5$ очков из максимально возможных $24$. В случае ничьей ($12:12$) действующий чемпион сохраняет звание. Вероятность выигрыша партии одинакова для каждого из двух игроков и равна половине вероятности ничьей. Найдите:

В лотерее билеты пронумерованы от $000000$ до $999999$ и все они равновероятны. Какова вероятность $p$ того, что сумма цифр выбранного номера равна $21$?

Докажите, что распределение Паскаля при $r \to \infty$ и $rq \to \lambda$ сходится к распределению Пуассона с параметром $\lambda$.

Пусть $X, Y, Z$ — независимые случайные величины, каждая из которых принимает значения $1, 2, \ldots , n$ с одинаковой вероятностью (равномерно). Найдите $\mathbb {P}\left(X + Y = 2Z\right)$, используя их совместную производящую функцию $G(t_{1}, t_{2}, t_{3})$.

В задаче 315 положим

Найдите производящую функцию $Q(t)$ величины $q_{n,k}$ при заданном $n$ и, следовательно, саму $q_{n,k}$.

(Продолжение задачи 2.6.) Пусть $k$ и $m$ стремятся к бесконечности так, что $k/m \to x$. Найдите предел $q_{n,k}$.

Найдите плотности распределений с характеристическими функциями

Найдите моменты распределения Лапласа с характеристической функцией

Определите распределение с характеристической функцией

Найдите характеристическую функцию $Y = aF(X) + b$, где $X$ — непрерывная случайная величина, а $F$ — её функция распределения.

Вектор $\xi = (X_{1}, \ldots , X_{n})$ имеет $n$-мерное нормальное распределение с $\mathbb {E}\left[X_{i}\right] = a$, $\operatorname {Var}\left[X_{i}\right] = \sigma^{2}$ $(i = 1, \ldots , n)$ и ковариациями

Найдите характеристическую функцию $\xi$.

Пусть $\varphi (t)$ — характеристическая функция случайной величины $X$ с $\mathbb {E}\left[X^{2}\right] = \mu_{2}'$.

Покажите, что

является характеристической функцией случайной величины $X$, и определите соответствующее распределение.

Пусть $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ — независимые $\mathscr {N}\left(0, 1\right)$. Найдите характеристическую функцию пары $Z_{1}, Z_{2}$, где

Отсюда получите характеристическую функцию $Z_{1}$. Независимы ли $Z_{1}, Z_{2}$?

Найдите распределения, соответствующие характеристическим функциям

Покажите, что

с положительными параметрами и $p_{0} + p_{1} + p_{2} = 1$ является производящей функцией вероятностей пары $(X, Y)$, так что маргинальные распределения $X$ и $Y$, а также $X + Y$, являются отрицательными биномиальными.

Пусть "раунд" состоит из последовательности испытаний Бернулли до первой неудачи. Найдите производящую функцию и функцию вероятности общего числа $S_{k}$ успехов в $k$ раундах.

(Продолжение задачи 2.18.) Пусть $G$ — число последовательных раундов вплоть до $n$-го успеха (т.е. $n$-й успех происходит в течение $G$-го раунда). Найдите распределение $G$, а также

(Продолжение задачи 2.19.) Рассмотрим две независимые последовательности бернуллиевских величин с параметрами $p_{1}$ и $p_{2}$ соответственно, или двух игроков с "мастерством" $p_{1}$ и $p_{2}$ соответственно. Докажите, что каждому игроку потребуется одинаковое число раундов (испытаний) до $N$-го успеха (ничья) с вероятностью

Покажите, что характеристическая функция $\beta$-плотности (2.10) равна

Формула (2.10), бета-плотность на $(0,1)$ с параметрами $p, q > 0$:

Покажите, что характеристическая функция плотности из задачи 1.13 имеет вид $\varphi (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + \cdots + t_{n}^{2})$ (см. задачу 1.21). Если

то есть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ независимы, докажите, что $\overrightarrow {X}$ имеет распределение $\mathscr {N}\left(0, I\right)$. Другими словами, сферически симметричный случайный вектор имеет независимые компоненты тогда и только тогда, когда он многомерно нормален.

Найдите плотность

где $X \sim N(0, 1)$.

$X$ имеет равномерное распределение на $(0, 1)$. Найдите плотность случайной величины $Y$, определённой выражением

Случайные величины $X$ и $Y$ связаны соотношением

где $f(t) \geq 0$ удовлетворяет условию

Докажите, что если $X$ равномерна на $(0, 1)$, то $f(t)$ является плотностью $Y$ (см. задачу 227).

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины. Докажите, что произведение $XY$ имеет одно и то же распределение, если:

Корни уравнения $x^{2} + Yx + Z = 0$ следуют нормальному распределению $(-1, 1)$. Найдите плотность коэффициентов $Y$ и $Z$ (ср. задачу 222).

Пусть $f(x, y, z)$ — плотность точки $(X, Y, Z)$ в трёхмерном пространстве и

Какова плотность пары $(R, \theta )$?

$X$ и $Y$ — независимые нормальные $N(0, \sigma^{2})$. Найдите распределение

$X$ и $Y$ — независимые случайные величины с равномерным распределением на $(0, a)$. Найдите распределение $Z = X/Y$ и исследуйте существование моментов $Z$.

Совместная плотность $X, Y$ равна

$X, Y$ — независимые экспоненциальные величины, каждая с плотностью

Если случайные величины $X_{i}$ независимы и имеют распределение $N(a + bt_{i}, \sigma^{2})$ $(i = 1, \ldots , n)$, где $t_{i}$ — постоянные с $\sum_{i=1}^{n} t_{i} = 0$, найдите:

(Продолжение задачи 3.11.) С помощью подходящего ортогонального преобразования $\mathbf{X} = (X_{1}, \ldots , X_{n})'$, скажем, $\mathbf{Y} = 0\mathbf{X}$ ($0$ — ортогональная матрица размера $n \times n$), докажите, что случайные величины $\overline{X}$, $b$ и $\sum_{i=1}^{n} (X_{i} - \overline{X} - bt_{i})^{2}$ полностью независимы. Заключите, что $\sum_{i=1}^{n} (X_{i} - \overline{X} - bt_{i})^{2}/\sigma^{2}$ имеет распределение $\chi^{2}$ с $n - 2$ степенями свободы.

$X$ и $Y$ совместно нормальны с $\mathbb {E}\left[X\right] = \mathbb {E}\left[Y\right] = 0$, $\operatorname {Var}\left[X\right] = \operatorname {Var}\left[Y\right] = 1$ и $\operatorname {Corr}\left[ X, Y \right] = \rho$, $\left|\rho \right| < 1$. Рассмотрим полярные координаты $R = \sqrt{X^{2} + Y^{2}}$ и $\theta = \tan^{-1}(Y/X)$. Покажите, что $\theta$ имеет плотность (ср. задачи 220, 221)

Случайный вектор $\mathbf{X} = (X_{1}, \ldots , X_{k})$ имеет плотность

Если $\Lambda = I$ и $k = 1$, это распределение Стьюдента с $n$ степенями свободы. Если $\Lambda = I_{k}$, то $X$ имеет сферически симметричное $t$-распределение (см. задачу 1.13). Покажите, что:

Пусть $f(x)$ обозначает плотность случайной величины $X$. Если $f(\cdot )$ монотонна и ограничена, то $f(X)$ имеет равномерное распределение тогда и только тогда, когда $X$ имеет (отрицательное) экспоненциальное распределение.