Производящие функции

Два человека стреляют по мишени, каждый делает $n$ выстрелов. Используя производящие функции, найдите вероятность $p$ того, что у них будет одинаковое число попаданий, если вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна $0.5$ для каждого из них.

Чтобы получить звание чемпиона по шахматам, соперник должен набрать не менее $12.5$ очков из максимально возможных $24$. В случае ничьей ($12:12$) действующий чемпион сохраняет звание. Вероятность выигрыша партии одинакова для каждого из двух игроков и равна половине вероятности ничьей. Найдите:

В лотерее билеты пронумерованы от $000000$ до $999999$ и все они равновероятны. Какова вероятность $p$ того, что сумма цифр выбранного номера равна $21$?

Докажите, что распределение Паскаля при $r \to \infty$ и $rq \to \lambda$ сходится к распределению Пуассона с параметром $\lambda$.

Пусть $X, Y, Z$ — независимые случайные величины, каждая из которых принимает значения $1, 2, \ldots , n$ с одинаковой вероятностью (равномерно). Найдите $\mathbb {P}\left(X + Y = 2Z\right)$, используя их совместную производящую функцию $G(t_{1}, t_{2}, t_{3})$.

В задаче 315 положим

Найдите производящую функцию $Q(t)$ величины $q_{n,k}$ при заданном $n$ и, следовательно, саму $q_{n,k}$.

(Продолжение задачи 2.6.) Пусть $k$ и $m$ стремятся к бесконечности так, что $k/m \to x$. Найдите предел $q_{n,k}$.

Найдите плотности распределений с характеристическими функциями

Найдите моменты распределения Лапласа с характеристической функцией

Определите распределение с характеристической функцией

Найдите характеристическую функцию $Y = aF(X) + b$, где $X$ — непрерывная случайная величина, а $F$ — её функция распределения.

Вектор $\xi = (X_{1}, \ldots , X_{n})$ имеет $n$-мерное нормальное распределение с $\mathbb {E}\left[X_{i}\right] = a$, $\operatorname {Var}\left[X_{i}\right] = \sigma^{2}$ $(i = 1, \ldots , n)$ и ковариациями

Найдите характеристическую функцию $\xi$.

Пусть $\varphi (t)$ — характеристическая функция случайной величины $X$ с $\mathbb {E}\left[X^{2}\right] = \mu_{2}'$.

Покажите, что

является характеристической функцией случайной величины $X$, и определите соответствующее распределение.

Пусть $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ — независимые $\mathscr {N}\left(0, 1\right)$. Найдите характеристическую функцию пары $Z_{1}, Z_{2}$, где

Отсюда получите характеристическую функцию $Z_{1}$. Независимы ли $Z_{1}, Z_{2}$?

Найдите распределения, соответствующие характеристическим функциям

Покажите, что

с положительными параметрами и $p_{0} + p_{1} + p_{2} = 1$ является производящей функцией вероятностей пары $(X, Y)$, так что маргинальные распределения $X$ и $Y$, а также $X + Y$, являются отрицательными биномиальными.

Пусть "раунд" состоит из последовательности испытаний Бернулли до первой неудачи. Найдите производящую функцию и функцию вероятности общего числа $S_{k}$ успехов в $k$ раундах.

(Продолжение задачи 2.18.) Пусть $G$ — число последовательных раундов вплоть до $n$-го успеха (т.е. $n$-й успех происходит в течение $G$-го раунда). Найдите распределение $G$, а также

(Продолжение задачи 2.19.) Рассмотрим две независимые последовательности бернуллиевских величин с параметрами $p_{1}$ и $p_{2}$ соответственно, или двух игроков с "мастерством" $p_{1}$ и $p_{2}$ соответственно. Докажите, что каждому игроку потребуется одинаковое число раундов (испытаний) до $N$-го успеха (ничья) с вероятностью

Покажите, что характеристическая функция $\beta$-плотности (2.10) равна

Формула (2.10), бета-плотность на $(0,1)$ с параметрами $p, q > 0$:

Покажите, что характеристическая функция плотности из задачи 1.13 имеет вид $\varphi (t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + \cdots + t_{n}^{2})$ (см. задачу 1.21). Если

то есть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ независимы, докажите, что $\overrightarrow {X}$ имеет распределение $\mathscr {N}\left(0, I\right)$. Другими словами, сферически симметричный случайный вектор имеет независимые компоненты тогда и только тогда, когда он многомерно нормален.