Банк задач по математике

Задача 3.1

Найдите плотность

Y = +\sqrt{\left|X\right|},

где $X \sim N(0, 1)$ .

?

Задача 3.2

$X$ имеет равномерное распределение на $(0, 1)$ . Найдите плотность случайной величины $Y$ , определённой выражением

X = \frac{1}{2}\left\{ 1 + \frac{2}{\sqrt{2\pi }} \int _{0}^{Y} \exp \left\{ -\frac{t^{2}}{2}\right\} \, dt\right\} .

?

Задача 3.3

Случайные величины $X$ и $Y$ связаны соотношением

X = \int _{-\infty }^{Y} f(t) \, dt,

где $f(t) \geq 0$ удовлетворяет условию

\int _{-\infty }^{\infty } f(t) \, dt = 1.

Докажите, что если $X$ равномерна на $(0, 1)$ , то $f(t)$ является плотностью $Y$ (см. задачу 227).

?

Задача 3.4

(a)(b)

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины. Докажите, что произведение $XY$ имеет одно и то же распределение, если:

?

(a)

$X$ и $Y$ имеют распределение $N(0, 1)$ ; или

(b)

$X$ имеет распределение $N(0, 1)$ , а $Y$ имеет плотность

f(y) = ye^{-y^{2}/2}, \qquad y \geq 0 \qquad (\text{плотность } \chi _{2}\text{; см. (2.11)}).

Задача 3.5

Корни уравнения $x^{2} + Yx + Z = 0$ следуют нормальному распределению $(-1, 1)$ . Найдите плотность коэффициентов $Y$ и $Z$ (ср. задачу 222).

?

Задача 3.6

Пусть $f(x, y, z)$ — плотность точки $(X, Y, Z)$ в трёхмерном пространстве и

R^{2} = X^{2} + Y^{2} + Z^{2}, \qquad \theta = \arcsin \frac{Y}{R}.

Какова плотность пары $(R, \theta )$ ?

?

Задача 3.7

(a)(b)

$X$ и $Y$ — независимые нормальные $N(0, \sigma^{2})$ . Найдите распределение

?

(a)

$Z = X/\left|Y\right|$ ;

(b)

$W = \left|X\right|/Y$ .

Задача 3.8

$X$ и $Y$ — независимые случайные величины с равномерным распределением на $(0, a)$ . Найдите распределение $Z = X/Y$ и исследуйте существование моментов $Z$ .

?

Задача 3.9

(a)(b)(c)

Совместная плотность $X, Y$ равна

f(x, y) = e^{-y} \qquad \text{для} \quad 0 \leq x \leq y < \infty .

?

(a)

Найдите маргинальные распределения $X$ , $Y$ и условное распределение $Y$ при заданном $X$ .

(b)

Из величин $X$ , $Y$ , $Y - X$ и $X/Y$ какие попарно независимы?

(c)

В условном распределении $Y$ при $X = x$ определите интервал $(y, y + a)$ так, чтобы

Q(a) = \mathbb {P}\left(y \leq Y \leq y + a\right)

было максимальным. Эти интервалы при переменном $x$ определяют зону $B$ . Какова вероятность зоны, то есть

\mathbb {P}\left((X, Y) \in B\right) = \mathbb {P}\left(B\right)?

Задача 3.10

(a)(b)

$X, Y$ — независимые экспоненциальные величины, каждая с плотностью

f(t) = \theta e^{-\theta t}, \qquad t \geq 0. \tag {1}

?

(a)

Найдите совместную условную плотность $X, Y$ при условии $X \leq Y$ (упорядоченная выборка из двух наблюдений).

(b)

Пусть $X_{1} \leq X_{2} \leq X_{3} \leq X_{4}$ — упорядоченная выборка из (1). Какова плотность $f_{1}$ пары $(X_{1}, X_{2})$ и какова условная плотность $f_{2}$ пары $(X_{3}, X_{4})$ при заданной $(X_{1}, X_{2})$ ? Какой вывод можно сделать?

Задача 3.11

(a)(b)

Если случайные величины $X_{i}$ независимы и имеют распределение $N(a + bt_{i}, \sigma^{2})$ $(i = 1, \ldots , n)$ , где $t_{i}$ — постоянные с $\sum_{i=1}^{n} t_{i} = 0$ , найдите:

?

(a)

совместное распределение $X_{1}, \ldots , X_{n}$ ;

(b)

совместное распределение

\overline{X} = \frac{1}{n} \sum _{i=1}^{n} X_{i} \qquad \text{и} \qquad b = \sum _{i=1}^{n} t_{i} X_{i} \bigg/ \sum _{i=1}^{n} t_{i}^{2}.

Задача 3.12

(Продолжение задачи 3.11.) С помощью подходящего ортогонального преобразования $\mathbf{X} = (X_{1}, \ldots , X_{n})'$ , скажем, $\mathbf{Y} = 0\mathbf{X}$ ( $0$ — ортогональная матрица размера $n \times n$ ), докажите, что случайные величины $\overline{X}$ , $b$ и $\sum_{i=1}^{n} (X_{i} - \overline{X} - bt_{i})^{2}$ полностью независимы. Заключите, что $\sum_{i=1}^{n} (X_{i} - \overline{X} - bt_{i})^{2}/\sigma^{2}$ имеет распределение $\chi^{2}$ с $n - 2$ степенями свободы.

?

Задача 3.13

$X$ и $Y$ совместно нормальны с $\mathbb {E}\left[X\right] = \mathbb {E}\left[Y\right] = 0$ , $\operatorname {Var}\left[X\right] = \operatorname {Var}\left[Y\right] = 1$ и $\operatorname {Corr}\left[ X, Y \right] = \rho$ , $\left|\rho \right| < 1$ . Рассмотрим полярные координаты $R = \sqrt{X^{2} + Y^{2}}$ и $\theta = \tan^{-1}(Y/X)$ . Покажите, что $\theta$ имеет плотность (ср. задачи 220, 221)

f(\theta ) = \frac{\sqrt{1 - \rho ^{2}}}{2\pi (1 - \rho \sin 2\theta )}, \qquad 0 < \theta < 2\pi .

?

Задача 3.14

(a)(b)(c)

Случайный вектор $\mathbf{X} = (X_{1}, \ldots , X_{k})$ имеет плотность

f(\mathbf{x}) = \frac{\Gamma ((k+n)/2)}{\Gamma (k/2)(k\pi )^{k/2}} [1 + (\mathbf{x} - \boldsymbol {\mu })' \Lambda ^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol {\mu })]^{-(n+k)/2}.

Если $\Lambda = I$ и $k = 1$ , это распределение Стьюдента с $n$ степенями свободы. Если $\Lambda = I_{k}$ , то $X$ имеет сферически симметричное $t$ -распределение (см. задачу 1.13). Покажите, что:

?

(a)

$\mathbb {E}\left[\mathbf{X}\right] = \boldsymbol {\mu }$ .

(b)

$\mathbf{X}$ имеет то же распределение, что и

\boldsymbol {\mu } + \Lambda ^{1/2} \mathbf{Z}/\chi _{n}^{2},

где $\mathbf{Z}$ имеет распределение $N(0, I_{k})$ и независима от $\chi_{n}^{2}$ . Отсюда заключите (ср. задача 1.24), что

F = \frac{1}{k\chi _{n}^{2}} (\mathbf{X} - \boldsymbol {\mu })' \Lambda ^{-1} (\mathbf{X} - \boldsymbol {\mu }) \quad \text{имеет распределение} \quad F_{k,n}.

(c)

При $n \to \infty$

\mathbf{X} \overset {L}{\to } \mathbf{Z}.

Задача 3.15

Пусть $f(x)$ обозначает плотность случайной величины $X$ . Если $f(\cdot )$ монотонна и ограничена, то $f(X)$ имеет равномерное распределение тогда и только тогда, когда $X$ имеет (отрицательное) экспоненциальное распределение.

?

Преобразование случайных величин