Сходимость случайных величин

Счётчик Гейгера--Мюллера регистрирует частицу, испущенную радиоактивным источником, с вероятностью $10^{-4}$.

В некоторых странах западной Европы, начиная с семнадцатого века и вплоть до Первой мировой войны, была распространена следующая государственная лотерея: из 90 номеров вытягивалось 5, и игрок имел право поставить, скажем, сумму $a$ на один или несколько номеров; если все выбранные им номера оказывались среди 5 вытянутых, то он выигрывал сумму, определяемую следующим образом: $15a$, если он ставил на один номер, $270a$, если он ставил на 2 номера, $500a$, если он ставил на 3 номера, $75{,}000a$, если он ставил на 4 номера, и $1{,}000{,}000a$, если он ставил на 5 номеров.

Используя формулу Стирлинга, докажите, что при $\lambda \to \infty$ и постоянном $k$ имеет место локальная предельная теорема о приближении функции вероятности Пуассона нормальной функцией

Если $X_{n} \overset {P}{\to } c$ и $f$ непрерывна в точке $c$, то $f(X_{n}) \overset {P}{\to } f(c)$.

Пусть $\left\{ X_{n}, n \geq 1\right\}$ — последовательность случайных величин с $\mathbb {E}\left[X_{n}\right] = \theta$ и $\operatorname {Var}\left[X_{n}\right] = \sigma^{2}(\theta )$, где параметр $\theta$ принимает значения в некотором интервале. Докажите, что если $\sigma_{n}^{2}(\theta ) \to 0$, то

для любой ограниченной непрерывной функции $g$.

(Продолжение задачи 4.5.) Если $F_{n}$ — "биномиальное" распределение с

а $g$ определена на $[0, 1]$, то полином Бернштейна

сходится равномерно по $0 \leq \theta \leq 1$. Таким образом, мы получаем простое доказательство теоремы Вейерштрасса об аппроксимации, согласно которой такая функция $g$ может быть равномерно приближена полиномом. Более того, (1) даёт приближающие полиномы.

(Продолжение задачи 4.6.) Если $nX_{n}$ имеет распределение Пуассона с параметром $n\theta$, то

и сходимость равномерна на любом конечном интервале значений $\theta$. Равенство (2) также верно для нецелых значений $n$.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — последовательность независимых нормальных случайных величин с $\mathbb {E}\left[X_{i}\right] = 0$ и $\operatorname {Var}\left[X_{i}\right] = 1$, и пусть

Докажите, что $\xi_{n}$ и $\zeta_{n} \to N(0, 1)$.

(Продолжение задачи 4.8.) Найдите асимптотическое (при $n \to \infty$) распределение

$n$ чисел выбираются случайным образом из целых чисел $1, 2, \ldots , N$, скажем, $k_{1}, k_{2}, \ldots , k_{n}$. Положим $X_{i} = 0$, если $k_{i} = 0$ по модулю 3, $X_{i} = 1$, если $k_{i} = 1$ по модулю 3, и $X_{i} = -1$, если $k_{i} = 2$ по модулю 3. Пусть $S_{n} = \sum_{i=1}^{n} X_{i}$. Докажите, что при $n$ и $N \to \infty$ так, что $n/N \to c > 0$, $S_{n}/\sqrt{n} \overset {L}{\to } N(0, 2/3)$.

Пусть $S_{N} = X_{1} + X_{2} + \cdots X_{N}$ — сумма случайного числа $N$ случайных величин $X_{i}$, где $X_{i}$ и $N$ независимы, $\left|X_{i}\right| < c$, $\mathbb {E}\left[X_{i}\right] = \mu$, $\operatorname {Var}\left[X_{i}\right] = \sigma^{2}$, $\mathbb {E}\left[N\right] = n$ и $\operatorname {Var}\left[N\right] \leq n^{1-\varepsilon }$, $\varepsilon > 0$. Используя задачу 328 и ЦПТ, докажите, что при $n \to \infty$

Пусть $\left\{ X_{n}, n \geq 1\right\}$ — последовательность независимых случайных величин и

Докажите, что сумма

Если последовательность нормальных случайных величин $X_{n}$ сходится по распределению к случайной величине $X$, то $X$ также нормальна либо вырождена.

Докажите, что отрицательное биномиальное распределение

при $r \to \infty$ и $q \to 0$ так, что $rq \to \lambda > 0$, сходится к распределению Пуассона с параметром $\lambda$.

Если стохастическая последовательность $\left\{ X_{n}\right\}$ сходится по вероятности к случайной величине $X$, где $\mathbb {P}\left(X \neq 0\right) = 1$, то последовательность $\left\{ 1/X_{n}\right\} \overset {P}{\to } 1/X$.

Рассмотрим последовательность $\left\{ X_{n}\right\}$ независимых случайных величин с

Если ряд $\sum a_{n}^{2}$ сходится, докажите, что последовательность частичных сумм

также сходится в каждом из четырёх видов сходимости (см. Главу 8).

Пусть $\left\{ X_{k}\right\}$ — последовательность случайных величин с

С помощью так называемого метода Монте-Карло, сколько испытаний необходимо, чтобы оценить интеграл

так, чтобы абсолютная ошибка оценки не превышала $0.1\%$ от $I$ с вероятностью $p \geq 0.99$?

Пусть $V$ — область плоскости с площадью единица, и $f$ определена на $V$ с $\left|f(x, y)\right| \leq c$. Для вычисления $I = \iint_{V} f(x, y) \, dx \, dy$ методом Монте-Карло мы случайным образом выбираем $n$ точек $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \ldots , (x_{n}, y_{n})$ в $V$ и вычисляем $I$ по формуле

Докажите, что