Разные дополнения и задачи

При изучении последовательностей событий $A_{1}, A_{2}, \ldots$ с $p_{k} = \mathbb {P}\left(A_{k}\right)$ важную роль играет лемма Бореля--Кантелли:

Пусть $\left\{ X_{n}, n \geq 1\right\}$ — последовательность независимых случайных величин, и для произвольного $c > 0$ рассмотрим усечённые случайные величины

Тогда ряд

сходится с вероятностью 1 тогда и только тогда, когда сходятся следующие три ряда:

В противном случае $S$ сходится с вероятностью 0.

Этот закон касается частоты появления больших значений стандартизованного числа успехов

в бесконечной последовательности испытаний Бернулли. Согласно центральной предельной теореме (ЦПТ) Муавра--Лапласа, мы имеем

где $\sim$ означает, что отношение обеих сторон стремится к единице.

Следовательно, для конкретного $n$ большие значения ($>4$) $S_{n}^{*}$ маловероятны, но, очевидно, при больших $n$ возможно, что $S_{n}^{*}$ рано или поздно превзойдёт любое большое значение. Насколько скоро это может произойти, показывает закон повторного логарифма (Хинчин; см., например, Феллер, 1957). С вероятностью 1

т.е. при $\lambda > 1$ с вероятностью 1 происходит лишь конечное число событий

тогда как при $\lambda < 1$ (2) выполняется для бесконечного числа $n$ с вероятностью 1.

По соображениям симметрии (распределения $S_{n}^{*}$) из (1) следует

Поведение $S_{n}$ далее иллюстрируется следующим:

Пусть $\left\{ X_{n}, n \geq 1\right\}$ — последовательность независимых случайных величин, и $A$ — событие, независимое от (любого события, определённого через) $X_{1}, \ldots , X_{k}$ для любого $k$. Тогда либо $\mathbb {P}\left(A\right) = 0$, либо $\mathbb {P}\left(A\right) = 1$.

Для больших $x$ ($x \rightarrow \infty$) справедливо приближение

точнее, для каждого $x > 0$ справедливо двойное неравенство

Более того, для каждой постоянной $a > 0$ покажите, что при $x \rightarrow \infty$

Рассмотрим последовательность $\left\{ A_{n}, n \geq 1\right\}$ независимых событий. Тогда с вероятностью 1 происходит конечное или бесконечное число событий $A_{k}$ в зависимости от того, сходится или расходится ряд $\sum_{n} \mathbb {P}\left(A_{n}\right)$ соответственно (см. приведённую выше лемму Бореля--Кантелли). Покажите это, используя теорему о трёх рядах.

Пусть $\left\{ X_{n}, n \geq 1\right\}$ — последовательность случайных величин с $\mu_{n} = \mathbb {E}\left[X_{n}\right] < \infty$, и $X$ — случайная величина с $\operatorname {Var}\left[X\right] < \infty$. Если для каждого $k$ величины $X_{1}, \ldots , X_{k}$ и $X-(X_{1}+\cdots +X_{k})$ независимы, докажите, что $\operatorname {Var}\left[X_{k}\right] < \infty$ для каждого $k$, и что ряд

сходится с вероятностью 1 (почти всюду или почти наверное).

В последовательности (независимых) испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p$ событие $A_{k}$ реализуется, если между $2^{k}$-м и $2^{k+1}$-м испытанием появляются $k$ последовательных успехов. Докажите, что если $p \geq 1/2$, то с вероятностью 1 происходит бесконечное число событий $A_{k}$, тогда как при $p < 1/2$ с вероятностью 1 происходит конечное число событий $A_{k}$.

Непрерывная функция $\varphi (t)$ с $\varphi (0) = 1$ является характеристической функцией тогда и только тогда, когда она неотрицательно определена, т.е. если для каждого $n \geq 1$ и для каждого набора из $n$ действительных чисел $t_{1}, \ldots , t_{n}$ и комплексных чисел $Z_{1}, \ldots , Z_{n}$ выполняется

Докажите, что $(*)$ является необходимым условием.

Докажите, что функции,

Если $\varphi (t)$ — характеристическая функция, докажите, что $g(t) = e^{\varphi (t)-1}$ также является характеристической функцией.

Покажите, что для действительной характеристической функции $\varphi (t)$ справедливы следующие неравенства:

Пусть $X$ — число испытаний Бернулли, необходимых до появления $r$ подряд идущих успехов. Найдите производящую функцию $X$ и $\mathbb {E}\left[X\right]$.

Пусть $M_{n}$ — максимальное число подряд идущих успехов (максимальная длина серии), наблюдаемое в $n$ испытаниях Бернулли. Если

покажите, что

где $p_{n,r}$ было определено в предыдущей задаче (задача 5.13, число испытаний Бернулли, необходимых до появления $r$ подряд идущих успехов), и, следовательно, производящая функция $p_{n,r}$ равна

Также покажите, что

Найдите распределения с характеристическими функциями,

Найдите дискретные распределения с производящими функциями,

Используя неравенство Колмогорова: для независимых $X_{1}, \ldots , X_{n}$ пусть $S_{k} = X_{1}+\cdots +X_{k}$ с $\mathbb {E}\left[S_{k}\right] = m_{k}$, $\operatorname {Var}\left[S_{k}\right] = s_{k}^{2}$ ($k = 1, 2, \ldots$); тогда для каждого $\varepsilon > 0$

покажите, что если ряд

то выполняется УЗБЧ, т.е.

Вероятность того, что в каждой партии игры игрок получает $2^{k}$ долларов, равна

а вероятность того, что он получает 0 долларов, равна $p_{0} = 1-(p_{1}+p_{2}+\cdots )$. Итак, ожидаемый (средний) выигрыш в каждой партии равен

Если в каждой партии игрок платит взнос в 1 доллар, то чистая прибыль игрока после $n$ партий равна

т.е. игра честная ($X_{k}$ — случайная величина с распределением (1)). Однако для каждого $\varepsilon > 0$ вероятность того, что за $n$ партий игрок проиграет больше $(1-\varepsilon ) n/\log_{2} n$ долларов, стремится к 1, т.е. можно доказать (усекая случайные величины $X_{k}$, см. Феллер (1957) или Гнеденко (1962)), что

В последовательности $\left\{ X_{n}, n \geq 1\right\}$ бернуллиевских случайных величин предположим, что

Найдите $\mathbb {E}\left[Z_{n}\right]$ и $\operatorname {Var}\left[Z_{n}\right]$, где $Z_{n} = \sum_{i=1}^{n} Y_{i}$.

Мы случайным образом выбираем два числа на $(0,1)$. Какова вероятность $p$ того, что их сумма меньше 1, а произведение меньше 3/16?

Автобус линии $A$ прибывает на автобусную станцию каждые 4 минуты, а автобус линии $B$ — каждые 6 минут. Интервал времени между прибытием автобуса линии $A$ и автобуса линии $B$ равномерно распределён между 0 и 4 минутами. Найдите вероятность:

$N$ звёзд случайным образом рассеяны, независимо друг от друга, в сфере радиуса $R$.

Спутник, движущийся по орбите между двумя параллелями $60^{\circ }$ северной и $60^{\circ }$ южной (широты), с равной вероятностью может приземлиться в любой точке между этими двумя параллелями. Какова вероятность $p$ того, что спутник приземлится в северном полушарии выше $30^{\circ }$?

В уравнении $\lambda^{3}+3 X \lambda +Y = 0$ коэффициенты $X, Y$ равномерно распределены в прямоугольнике $\left|X\right| \leq a$, $\left|Y\right| \leq b$. Какова вероятность $p$ того, что уравнение имеет действительные корни?

Пусть $P_{k,n}$ обозначает вероятность $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях Бернулли. Используя производящую функцию $G_{n}(t)$ величины $P_{n,k}$ ($k = 0, 1, 2, \ldots$), выведите биномиальное распределение.

$A$ и $B$ играют в следующую игру. Они подбрасывают монету; если выпадает орёл, $A$ получает 1 доллар от $B$, в противном случае $A$ платит 1 доллар $B$. Изначально у каждого из них по 3 доллара. Игра заканчивается, когда либо $A$, либо $B$ теряет все свои деньги. Какова вероятность $p_{n}$ того, что потребуется $n$ подбрасываний?

Пусть $Y_{n} = \max \left\{ X_{1}, \ldots , X_{n}\right\}$, где $X_{1}, \ldots , X_{n}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с равномерным распределением на $(0,1)$. Покажите, что распределение

сходится (при $n \rightarrow \infty$) к экспоненциальному распределению с функцией распределения $F(z) = 1-e^{-z}$.

Дискретная случайная величина $X_{n}$, встречающаяся в теории экстремальных значений, имеет функцию распределения

и $X_{n}$ принимает значения $1/n, 2/n, \ldots$. Покажите, что последовательность $\left\{ X_{n}\right\}$ сходится по распределению к непрерывному распределению с функцией распределения

Если $X_{n} \xrightarrow {P} X$ и $\mathbb {E}\left[(X_{n}-Y_{n})^{2}\right] \rightarrow 0$, покажите, что последовательность $\left\{ Y_{n}\right\}$ также сходится к $X$ по вероятности.