Многомерные распределения

Плотность точки попадания $(X, Y)$ в круглую мишень задаётся формулой

Найдите, (а) константу $c$, (б) вероятность $p$ того, что точка попадания окажется в круге радиуса $a < R$ с центром в начале координат.

Случайные величины $X, Y$ удовлетворяют линейному соотношению

где $a, b, c$ — константы. Найдите, (а) корреляцию $\rho (X, Y)$ и (б) отношение $\sigma_{x}/\sigma_{y}$ стандартных отклонений.

Матрица рассеяния (дисперсий--ковариаций) трёхмерного нормального распределения равна

Если $\mu_{x} = \mu_{y} = \mu_{z} = 0$, найдите плотность $f(x, y, z)$ и её максимум.

Совместная плотность $X$ и $Y$ задаётся формулой

Найдите, (а) маргинальные плотности $X$ и $Y$, и (б) условную функцию распределения $F_{X}(x \mid y)$ величины $X$ при условии $Y = y$.

Предположим, что случайная величина $X$ совпадает со случайной величиной $X_{i}$ с вероятностью $p_{i}$, то есть,

Покажите, что

где $\mathbb {P}\left(M = m_{i}\right) = p_{i}$ $(i = 1, 2, \ldots )$.

Случайный вектор $(X, Y, Z)$ имеет плотность $f(x, y, z)$. $X, Y, Z$ можно наблюдать только одновременно. Наблюдение дало значения $u, v, w$ без знания соответствия между ними и $X, Y, Z$. Найдите вероятность того, что $X = u$, $Y = v$ и $Z = w$.

Совместная функция распределения $F(x, y)$ случайных величин $X$ и $Y$ задаётся формулой

Найдите, (а) функцию плотности $f(x, y)$, и (б) матрицу рассеяния.

Нормальная плотность точки $A = (X_{1}, X_{2}, X_{3})$ задаётся формулой

Какова вероятность того, что $A$ попадёт в эллипсоид с главными полуосями $E_{1}, E_{2}, E_{3}$ вдоль осей $Ox, Oy, Oz$, где $E_{1}, E_{2}, E_{3}$ — вероятные ошибки $X, Y, Z$ соответственно, т.е.,

Вектор $(X, Y)$ имеет равномерное распределение в эллипсе

Найдите:

Точка $(X, Y, Z)$ равномерно распределена в шаре $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}$. Найдите плотность $Z$ и условную плотность $f(x, y \mid z)$. Обобщите на $n$-мерный шар.

Даны $f_{Y}(y)$, $\mathbb {E}\left[ X \mid y \right]$, $\operatorname {Var}\left[ X \mid y \right]$; найдите $\mathbb {E}\left[X\right]$ и $\operatorname {Var}\left[X\right]$.

Вектор $(X, Y)$ имеет нормальную плотность

Найдите плотности $f_{X}(x)$, $f_{Y}(y)$, $f_{X}(x \mid y)$, $f_{Y}(y \mid x)$ и константу $c$.

Предположим, что $\overrightarrow {X}$ имеет сферически симметричное $n$-мерное распределение, т.е. с плотностью $f(x_{1}^{2} + \cdots + x_{n}^{2})$. Докажите, что плотность $g$ «обобщённой $\chi^{2}$-величины» $U = \overrightarrow {X}'\overrightarrow {X}$ задаётся формулой

где $C_{n}$ — «поверхностная» площадь $n$-мерной сферы, т.е.

(Продолжение задачи 1.13.) Для $n = 2$ покажите, что полярные координаты $(R, \theta )$, где

независимы, $\theta$ равномерно распределена на $[0, 2\pi )$, а $R$ имеет плотность (ср. задачу 221)

(Продолжение задачи 1.14.) Покажите, что коэффициент корреляции, основанный на единственном наблюдении $(X, Y)$, т.е.

имеет плотность

(Продолжение задачи 1.15.) Если $\overrightarrow {X} = (X_{1}, \ldots , X_{n})'$ есть $\mathscr {N}\left(0, I_{n}\right)$, и $\overrightarrow {X}$ разбит на $k$ подвекторов $X_{(1)}, \ldots , X_{(k)}$ с $v_{1}, v_{2}, \ldots , v_{k}$ компонентами соответственно, покажите, что $(X_{(1)}'X_{(1)}, \ldots , X_{(k)}'X_{(k)})/\left|X\right|^{2}$ имеет распределение Дирихле (см. (5.11)) с плотностью $f(t_{1}, \ldots , t_{k-1})$, приведённой ниже.

Формула (5.11), распределение Дирихле: для $x_{1}, \ldots , x_{k}$ с $\sum_{i=1}^{k+1} x_{i} = 1$, $x_{i} \geq 0$,

Искомая здесь плотность $f(t_{1}, \ldots , t_{k-1})$ равна

Отсюда, при $v_{1} = v_{2} = \cdots = v_{s} = 1$, $v_{s+1} = n - s$ $(k = s+1)$,

имеет плотность

а плотность $(X_{1}, \ldots , X_{k})/\left|X\right| \equiv (U_{1}, U_{2}, \ldots , U_{k})$ равна

Это распределение любого $k$-мерного подвектора $n$-мерного вектора

равномерно распределённого на (поверхности) единичной сферы

(Продолжение задачи 1.16.) В общем случае, если $\overrightarrow {X}$ имеет сферическое распределение (см. задачу 1.13), поскольку оно инвариантно относительно вращений в $n$-мерном пространстве, распределение направления $\overrightarrow {X}/\left|X\right|$ совпадает с распределением $\overrightarrow {U}$ и не зависит от его длины $\left|X\right|$ (для любого сферического распределения с $\mathbb {P}\left(\left|X\right| = 0\right) = 0$).

Отсюда заключите, что результаты задачи 1.16 верны, если $\overrightarrow {X}$ — произвольный сферически симметричный случайный вектор.

Пусть $X, Y$ — случайные величины с

Найдите приближённую формулу для

используя линейное разложение $g(x, y)$ в окрестности точки $(\mu , \eta )$ (с точностью до моментов второго порядка). Обобщите результат на $n$ случайных величин.

$X$ и $Y$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с плотностью

Используя задачу 1.18, найдите $\mathbb {E}\left[Z\right]$ и $\operatorname {Var}\left[Z\right]$, где

Основная частота струны определяется формулой

где $F$ — натяжение, $m$ — масса струны, а $L$ — её длина. Если масса считается постоянной, а $F, L$ — случайные величины с $\mathbb {E}\left[F\right] = f$, $\mathbb {E}\left[L\right] = l$, $\operatorname {Var}\left[F\right] = \sigma_{f}^{2}$, $\operatorname {Var}\left[L\right] = \sigma_{l}^{2}$ и $\operatorname {Cov}\left[ F, L \right] = \sigma_{fl}$, найдите приближение для дисперсии $\Omega$.

Пусть вектор $(X, Y)$ имеет плотность $f(x, y)$. Определим комплексные переменные

и $Z_{t} = Ze^{it}$. Докажите, что для того чтобы все $Z_{t}$ имели одинаковое распределение, необходимо, чтобы $f(x, y) = g(x^{2} + y^{2})$ для некоторой плотности $g$ (см. задачу 1.13).

Если $\overrightarrow {X}$ имеет плотность $f$, как в задаче 1.13, покажите, что

имеет плотность вида

и характеристическую функцию вида

Пусть $\rho_{ij} = \rho (X_{i}, X_{j})$ — коэффициент корреляции между $X_{i}, X_{j}$ для $i, j = 1, \ldots , n$. Для $n = 3$ и $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = \rho$ какие значения может принимать $\rho$?

Если $p$-мерный вектор $\overrightarrow {X}$ имеет распределение $\mathscr {N}\left(\mu , \Lambda \right)$, покажите, что квадратичная форма

имеет распределение $\chi_{p}^{2}$ с $p$ степенями свободы и плотностью, задаваемой (ср. задача 1.13)

Энтропия $H$ многомерного распределения с плотностью $f(\overrightarrow {x})$ определяется формулой

Докажите, что для нормального распределения из задачи 1.24

Если $\overrightarrow {X}$ имеет распределение $\mathscr {N}\left(\mu , \Lambda \right)$ с плотностью $f$, найдите плотность $g$ случайной величины

Если $\overrightarrow {X} = (X_{1}, \ldots , X_{n})$ равномерно распределён в симплексе $T$:

покажите, что плотность $\overrightarrow {X}$ равна

Покажите, что $(n-1)$-мерные маргинальные распределения также являются частными случаями распределения Дирихле (5.11).

Формула (5.11), распределение Дирихле: для $x_{1}, \ldots , x_{k}$ с $\sum_{i=1}^{k+1} x_{i} = 1$, $x_{i} \geq 0$,