Векторная алгебра

Укажите на плоскости три таких вектора, по которым любой вектор этой плоскости может быть разложен с положительными коэффициентами.

Докажите, что точка $C$ лежит на отрезке $A B$ тогда и только тогда, когда существует число $\lambda \in [0,1]$, такое что для любой точки $O$ выполнено $\overrightarrow {O C}=\lambda \overrightarrow {O B}+(1-\lambda ) \overrightarrow {O A}$. Если $\lambda$ дано, то в каком отношении точка $C$ делит отрезок?

Дан правильный шестиугольник $A B C D E F,\left|A B\right|=2$. Найдите координаты вектора $\overrightarrow {A C}$ в базисе $\overrightarrow {A B}, \overrightarrow {A D}$.

В некотором базисе на плоскости заданы координаты векторов $\mathbf{a}(1,2), \mathbf{b}(2,3)$ и $\mathbf{c}(-1,1)$. Проверьте, что $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ линейно независимы. Найдите координаты с в базисе a, b.

Даны три точки $A, B$ и $C$. Найдите такую точку $O$, что $\overrightarrow {O A}+\overrightarrow {O B}+\overrightarrow {O C}=\mathbf{0}$. Решив аналогичную задачу для четьрех точек, докажите, что в треугольной пирамиде отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граней, пересекаются в одной точке.

Дан параллелограмм $O A B C . B$ нем $\left|\overrightarrow {O A}\right|=2,\left|\overrightarrow {O C}\right|=3$, угол $A O C$ равен $\pi / 3$. Найдите координаты точки $B$ в системе координат $O, \overrightarrow {O C}, \overrightarrow {O A}$.

Даны три точки $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}\right)$. Найдите координаты вершины $D$ параллелограмма $A B C D$.

Нарисуйте на плоскости множества точек, полярные координаты которых связаны соотношениями

Пусть $O, l, \mathbf{n}$ — сферическая система координат. Введем декартову прямоугольную систему координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{n}$, где $\mathbf{e}_{1}$ направлен вдоль $l$, а угол $\pi / 2$ от $\mathbf{e}_{1} \kappa \mathbf{e}_{2}$ отсчитывается в сторону возрастания полярного угла. Напишите формулы, выражающие декартовы координаты через сферические.

Рис. 2

Выведите формулы замены базиса и замены системы координат на прямой линии. Как меняются координаты точек прямой, если при неизменном начале координат длина базисного вектора увеличивается вдвое?

Пусть $O^{\prime }$ — середина стороны $A B$ треугольника $O A B$. Напишите формулы перехода от системы координат $O, \overrightarrow {O B}$, $\overrightarrow {O A} \kappa$ системе координат $O^{\prime }, \overrightarrow {O^{\prime } O}, \overrightarrow {O^{\prime } B}$.

Дана декартова система координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$. Как расположена относительно нее система координат $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }$, $\mathbf{e}_{2}^{\prime }, \mathbf{e}_{3}^{\prime }$, если формулы перехода имеют вид $x=1-y^{\prime }-z^{\prime }$, $y=1-x^{\prime }-z^{\prime }, z=1-x^{\prime }-y^{\prime }$.

Рис. 4

Пусть в некотором базисе скалярное произведение вычисляется по формуле $(\mathbf{a}, \mathbf{b})=\alpha_{1} \beta_{1}+\alpha_{2} \beta_{2}+\alpha_{3} \beta_{3}$. Докажите, что базис ортонормированный.

Используя свойства скалярного умножения, докажите, что высоты произвольного треугольника пересекаются в одной точке.

Рис. 5

Нарисуйте правильный треугольник $A B C$ и примите длину его стороны за 1. Нарисуйте на том же чертеже базис, биортогональный базису $\overrightarrow {A B}, \overrightarrow {A C}$.

Найдите сумму векторных проекций вектора а на стороны заданного правильного треугольника.

Построены векторы, перпендикулярные граням произвольного тетраэдра, равные по длине площадям этих граней и направленные в сторону вершин, противоположных граням. Докажите, что сумма этих векторов равна 0.

Дан трехгранный угол. Используя свойства векторного произведения, найдите выражение какого-либо из его двугранных углов через плоские углы.

Пусть на ориентированной плоскости дан положительный базис, такой что $\left|\mathbf{e}_{1}\right|=2,\left|\mathbf{e}_{2}\right|=3$ и $\left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right)=2$. Найдите площадь ориентированного параллелограмма, построенного на векторах $\mathbf{a}(1,2)$ и $\mathbf{b}(2,1)$.

При каком условии на матрицу перехода от одного базиса к другому оба базиса ориентированы одинаково? Вопрос поставлен как для плоскости, так и для пространства.

Какова размерность векторов взаимного базиса $\mathbf{e}_{1}^{*}, \mathbf{e}_{2}^{*}, \mathbf{e}_{3}^{*}$, если векторы базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ измеряются в сантиметрах?

Пусть стороны треугольника $P_{1} P_{2} P_{3}$ равны медианам треугольника $A_{1} A_{2} A_{3}$. Нужно найти отношение площадей этих треугольников.

Рис. 7