Смешанное и векторное произведения

Построены векторы, перпендикулярные граням произвольного тетраэдра, равные по длине площадям этих граней и направленные в сторону вершин, противоположных граням. Докажите, что сумма этих векторов равна 0.

Дан трехгранный угол. Используя свойства векторного произведения, найдите выражение какого-либо из его двугранных углов через плоские углы.

Пусть на ориентированной плоскости дан положительный базис, такой что $\left|\mathbf{e}_{1}\right|=2,\left|\mathbf{e}_{2}\right|=3$ и $\left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right)=2$. Найдите площадь ориентированного параллелограмма, построенного на векторах $\mathbf{a}(1,2)$ и $\mathbf{b}(2,1)$.

При каком условии на матрицу перехода от одного базиса к другому оба базиса ориентированы одинаково? Вопрос поставлен как для плоскости, так и для пространства.

Какова размерность векторов взаимного базиса $\mathbf{e}_{1}^{*}, \mathbf{e}_{2}^{*}, \mathbf{e}_{3}^{*}$, если векторы базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ измеряются в сантиметрах?

Пусть стороны треугольника $P_{1} P_{2} P_{3}$ равны медианам треугольника $A_{1} A_{2} A_{3}$. Нужно найти отношение площадей этих треугольников.

Рис. 7