Банаховы пространства

Проверьте, что каждая из заявленных метрик в примере 6.2 действительно является метрикой.

Докажите, что каждое конечное подмножество метрического пространства замкнуто.

Докажите, что каждый замкнутый шар в метрическом пространстве замкнут.

Пусть $V$ — метрическое пространство.

Пусть $V$ — метрическое пространство.

Покажите, что каждая последовательность в метрическом пространстве имеет не более одного предела.

Докажите 6.9.

Докажите, что каждое открытое подмножество метрического пространства $V$ является объединением некоторой последовательности замкнутых подмножеств $V$.

Докажите или приведите контрпример: если $V$ — метрическое пространство и $U, W$ — подмножества $V$, то $\overline{U} \cup \overline{W} = \overline{U \cup W}$.

Докажите или приведите контрпример: если $V$ — метрическое пространство и $U, W$ — подмножества $V$, то $\overline{U} \cap \overline{W} = \overline{U \cap W}$.

Пусть $\left(U, d_{U}\right),\left(V, d_{V}\right)$ и $\left(W, d_{W}\right)$ — метрические пространства. Пусть также $T: U \rightarrow V$ и $S: V \rightarrow W$ — непрерывные функции.

Докажите те части 6.11, которые не были доказаны в тексте.

Пусть последовательность Коши в метрическом пространстве имеет сходящуюся подпоследовательность. Докажите, что эта последовательность Коши сходится.

Проверьте, что все пять метрических пространств из примера 6.2 являются полными метрическими пространствами.

Пусть $(U, d)$ — метрическое пространство. Пусть $W$ обозначает множество всех последовательностей Коши элементов $U$.

Покажите, что если $a, b \in \mathbb {R}$ и $a+b i \neq 0$, то

Пусть $z \in \mathbb {C}$. Докажите, что

Пусть $z \in \mathbb {C}$. Докажите, что $\frac{\left|\operatorname {Re} z\right|+\left|\operatorname {Im} z\right|}{\sqrt{2}} \leq \left|z\right| \leq \left|\operatorname {Re} z\right|+\left|\operatorname {Im} z\right|$.

Пусть $w, z \in \mathbb {C}$. Докажите, что $\left|w z\right| = \left|w\right|\left|z\right|$ и $\left|w+z\right| \leq \left|w\right|+\left|z\right|$.

Пусть $(X, \mathcal{S})$ — измеримое пространство и $f: X \rightarrow \mathbb {C}$ — комплекснозначная функция. В условиях (b) и (c) ниже отождествим $\mathbb {C}$ с $\mathbb {R}^{2}$. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

1. $f$ является $\mathcal{S}$-измеримой.

2. $f^{-1}(G) \in \mathcal{S}$ для каждого открытого множества $G$ в $\mathbb {R}^{2}$.

3. $f^{-1}(B) \in \mathcal{S}$ для каждого борелевского множества $B \in \mathcal{B}_{2}$.

Пусть $(X, \mathcal{S})$ — измеримое пространство и $f, g: X \rightarrow \mathbb {C}$ являются $\mathcal{S}$-измеримыми. Докажите, что

Пусть $(X, \mathcal{S})$ — измеримое пространство и $f_{1}, f_{2}, \ldots$ — последовательность $\mathcal{S}$-измеримых функций из $X$ в $\mathbb {C}$. Пусть $\lim_{k \rightarrow \infty } f_{k}(x)$ существует для каждого $x \in X$. Определим $f: X \rightarrow \mathbb {C}$ как

Докажите, что $f$ является $\mathcal{S}$-измеримой функцией.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой и $f: X \rightarrow \mathbb {C}$ — $\mathcal{S}$-измеримая функция, такая что $\int \left|f\right| d \mu < \infty$. Докажите, что если $\alpha \in \mathbb {C}$, то

Пусть $V$ — векторное пространство. Покажите, что пересечение любой совокупности подпространств $V$ является подпространством $V$.

Пусть $V$ и $W$ — векторные пространства. Определим $V \times W$ как

Определим сложение и умножение на скаляр на $V \times W$ как

Докажите, что $V \times W$ является векторным пространством с этими операциями.

Покажите, что отображение $f \mapsto \left\| f\right\|$ из нормированного векторного пространства $V$ в $\mathbf{F}$ непрерывно (норма на $\mathbf{F}$ — это обычный модуль).

Докажите, что если $V$ — нормированное векторное пространство, $f \in V$ и $r > 0$, то

Покажите, что функции, определённые в последних двух пунктах примера 6.35, не являются нормами.

Докажите, что каждая последовательность Коши в нормированном векторном пространстве ограничена (это означает, что существует вещественное число, большее нормы каждого элемента этой последовательности).

Покажите, что если $n \in \mathbb {N}$, то $\mathbf{F}^{n}$ является банаховым пространством с каждой из двух норм, использованных в первом пункте примера 6.34.

Пусть $X$ — непустое множество, а $b(X)$ — векторное пространство ограниченных функций из $X$ в $\mathbf{F}$. Докажите, что если норма $\left\| \cdot \right\|$ на $b(X)$ определена как $\left\| f\right\| = \sup_{X}\left|f\right|$, то $b(X)$ является банаховым пространством.

Покажите, что $\ell^{1}$ с нормой, определённой как $\left\| \left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right)\right\|_{\infty } = \sup \left|a_{k}\right|$, не является банаховым пространством.

Покажите, что $\ell^{1}$ с нормой, определённой как $\left\| \left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right)\right\|_{1} = \sum_{k = 1}^{\infty }\left|a_{k}\right|$, является банаховым пространством.

Покажите, что векторное пространство $C([0,1])$ непрерывных функций из $[0,1]$ в $\mathbf{F}$ с нормой, определённой как $\left\| f\right\| = \int_{0}^{1}\left|f\right|$, не является банаховым пространством.

Пусть $U$ — подпространство нормированного векторного пространства $V$, такое что некоторый открытый шар в $V$ содержится в $U$. Докажите, что $U = V$.

Докажите, что единственные подмножества нормированного векторного пространства $V$, одновременно открытые и замкнутые, — это $\varnothing$ и $V$.

Пусть $V$ — нормированное векторное пространство. Докажите, что замыкание каждого подпространства пространства $V$ является подпространством $V$.

Пусть $U$ — нормированное векторное пространство. Пусть $d$ — метрика на $U$, определённая как $d(f, g) = \left\| f-g\right\|$ для $f, g \in U$. Пусть $V$ — полное метрическое пространство, построенное в упражнении 16 раздела 6A.

Пусть $U$ — подпространство нормированного векторного пространства $V$. Пусть также $W$ — банахово пространство, а $S: U \rightarrow W$ — ограниченный линейный оператор.

Для читателей, знакомых с фактор-пространством векторного пространства по подпространству: Пусть $V$ — нормированное векторное пространство, а $U$ — подпространство $V$. Определим норму $\left\| \cdot \right\|$ на $V / U$ как

Пусть $V$ и $W$ — нормированные векторные пространства с $V \neq \left\{ 0\right\}$, а $T: V \rightarrow W$ — линейный оператор.

Пусть $U, V$ и $W$ — нормированные векторные пространства, а $T: U \rightarrow V$ и $S: V \rightarrow W$ — линейные отображения. Докажите, что $\left\| S \circ T\right\| \leq \left\| S\right\| \left\| T\right\|$.

Пусть $V$ и $W$ — нормированные векторные пространства, а $T: V \rightarrow W$ — линейный оператор. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

1. $T$ ограничен.

2. Существует $f \in V$, такой что $T$ непрерывен в точке $f$.

3. $T$ равномерно непрерывен (это означает, что для каждого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$, такое что $\left\| T f-T g\right\| < \varepsilon$ для всех $f, g \in V$ с $\left\| f-g\right\| < \delta$).

4. $T^{-1}(B(0_W, r))$ — открытое подмножество $V$ для некоторого $r > 0$.

Пусть $V$ — нормированное векторное пространство, а $\varphi$ — линейный функционал на $V$. Пусть $\alpha \in \mathbf{F} \setminus \left\{ 0\right\}$. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

1. $\varphi$ — ограниченный линейный функционал.

2. $\varphi^{-1}(\alpha )$ — замкнутое подмножество $V$.

3. $\overline{\varphi^{-1}(\alpha )} \neq V$.

Пусть $\varphi$ — линейный функционал на векторном пространстве $V$. Докажите, что если $U$ — подпространство $V$, такое что $\operatorname {null}\varphi \subseteq U$, то $U = \operatorname {null}\varphi$ или $U = V$.

Пусть $\varphi$ и $\psi$ — линейные функционалы на одном и том же векторном пространстве. Докажите, что

тогда и только тогда, когда существует $\alpha \in \mathbf{F}$, такой что $\psi = \alpha \varphi$.

В этом и следующем упражнении $\mathbf{F}^{n}$ наделяется нормой $\left\| \cdot \right\|_{\infty }$, определённой в примере 6.34.

Пусть $n \in \mathbb {N}$, а $V$ — нормированное векторное пространство. Докажите, что каждое линейное отображение из $\mathbf{F}^{n}$ в $V$ непрерывно.

В этом упражнении, как и в предыдущем, $\mathbf{F}^{n}$ наделяется нормой $\left\| \cdot \right\|_{\infty }$, определённой в примере 6.34.

Пусть $n \in \mathbb {N}$, $V$ — нормированное векторное пространство, а $T: \mathbf{F}^{n} \rightarrow V$ — линейное отображение, инъективное и сюръективное на $V$.

Пусть $n \in \mathbb {N}$.

Пусть $V$ и $W$ — нормированные векторные пространства, причём $V$ конечномерно. Докажите, что каждое линейное отображение из $V$ в $W$ непрерывно.

Докажите, что каждое конечномерное нормированное векторное пространство является банаховым пространством.

Докажите, что каждое конечномерное подпространство любого нормированного векторного пространства замкнуто.

Приведите конкретный пример бесконечномерного нормированного векторного пространства и базиса этого пространства.

Покажите, что семейство $\mathcal{A} = \left\{ k \mathbb {Z}: k = 2,3,4, \ldots \right\}$ подмножеств $\mathbb {Z}$ удовлетворяет условию леммы Цорна (6.60).

Докажите, что каждое линейно независимое семейство в векторном пространстве можно дополнить до базиса этого векторного пространства.

Пусть $V$ — нормированное векторное пространство, $U$ — подпространство $V$, а $\psi : U \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченный линейный функционал. Докажите, что $\psi$ имеет единственное продолжение до ограниченного линейного функционала $\varphi$ на $V$ с $\left\| \varphi \right\| = \left\| \psi \right\|$ тогда и только тогда, когда

для каждого $h \in V \setminus U$.

Покажите, что существует линейный функционал $\varphi : \ell^{\infty } \rightarrow \mathbf{F}$, такой что

для всех $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right) \in \ell^{\infty }$ и

для всех $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right) \in \ell^{\infty }$, для которых предел, стоящий справа, существует.

Пусть $B$ — открытый шар в нормированном векторном пространстве $V$, такой что $0 \notin B$. Докажите, что существует $\varphi \in V^{\prime }$, такой что

для всех $f \in B$.

Покажите, что сопряжённое пространство каждого бесконечномерного нормированного векторного пространства бесконечномерно.

Нормированное векторное пространство называется сепарабельным, если оно содержит счётное подмножество, замыкание которого равно всему пространству.

Пусть $V$ — сепарабельное нормированное векторное пространство. Объясните, как теорему Хана–Банаха (6.69) для $V$ можно доказать, не используя никаких результатов (таких как лемма Цорна), зависящих от аксиомы выбора.

Нормированное векторное пространство называется сепарабельным, если оно содержит счётное подмножество, замыкание которого равно всему пространству.

Пусть $V$ — нормированное векторное пространство, такое что сопряжённое пространство $V^{\prime }$ является сепарабельным банаховым пространством. Докажите, что $V$ сепарабельно.

Нормированное векторное пространство называется сепарабельным, если оно содержит счётное подмножество, замыкание которого равно всему пространству.

Докажите, что сопряжённое пространство банахова пространства $C([0,1])$ не сепарабельно; здесь норма на $C([0,1])$ определена как $\left\| f\right\| = \sup \left|f\right|$.

Вторым сопряжённым пространством нормированного векторного пространства называется сопряжённое пространство к сопряжённому пространству. Если $V$ — нормированное векторное пространство, то второе сопряжённое пространство $V$ обозначается через $V^{\prime \prime }$; таким образом, $V^{\prime \prime } = \left(V^{\prime }\right)^{\prime }$. Норма на $V^{\prime \prime }$ определяется как норма, которую оно получает как сопряжённое пространство к $V^{\prime }$.

Определим $\Phi : V \rightarrow V^{\prime \prime }$ как

для $f \in V$ и $\varphi \in V^{\prime }$. Покажите, что $\left\| \Phi f\right\| = \left\| f\right\|$ для каждого $f \in V$.

Пусть $V$ — бесконечномерное нормированное векторное пространство. Покажите, что существует выпуклое подмножество $U$ пространства $V$, такое что $\overline{U} = V$ и такое что дополнение $V \setminus U$ также является выпуклым подмножеством $V$ с $\overline{V \setminus U} = V$.

Пусть $U$ — подмножество метрического пространства $V$. Покажите, что $U$ плотно в $V$ тогда и только тогда, когда каждое непустое открытое подмножество $V$ содержит хотя бы один элемент $U$.

Пусть $U$ — подмножество метрического пространства $V$. Покажите, что внутренность $U$ пуста тогда и только тогда, когда $V \setminus U$ плотно в $V$.

Докажите или приведите контрпример: если $V$ — метрическое пространство, а $U, W$ — подмножества $V$, то $(\operatorname {int} U) \cup (\operatorname {int} W) = \operatorname {int}(U \cup W)$.

Докажите или приведите контрпример: если $V$ — метрическое пространство, а $U, W$ — подмножества $V$, то $(\operatorname {int} U) \cap (\operatorname {int} W) = \operatorname {int}(U \cap W)$.

Пусть

и $d(x, y) = \left|x-y\right|$ для $x, y \in X$.

Приведите пример метрического пространства, являющегося счётным объединением замкнутых подмножеств с пустой внутренностью.

Пусть $(X, d)$ — полное метрическое пространство, а $G_{1}, G_{2}, \ldots$ — последовательность плотных открытых подмножеств $X$. Докажите, что $\bigcap_{k = 1}^{\infty } G_{k}$ является плотным подмножеством $X$.