Линейные функционалы

Пусть $V$ — нормированное векторное пространство, а $\varphi$ — линейный функционал на $V$. Пусть $\alpha \in \mathbf{F} \setminus \left\{ 0\right\}$. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

1. $\varphi$ — ограниченный линейный функционал.

2. $\varphi^{-1}(\alpha )$ — замкнутое подмножество $V$.

3. $\overline{\varphi^{-1}(\alpha )} \neq V$.

Пусть $\varphi$ — линейный функционал на векторном пространстве $V$. Докажите, что если $U$ — подпространство $V$, такое что $\operatorname {null}\varphi \subseteq U$, то $U = \operatorname {null}\varphi$ или $U = V$.

Пусть $\varphi$ и $\psi$ — линейные функционалы на одном и том же векторном пространстве. Докажите, что

тогда и только тогда, когда существует $\alpha \in \mathbf{F}$, такой что $\psi = \alpha \varphi$.

В этом и следующем упражнении $\mathbf{F}^{n}$ наделяется нормой $\left\| \cdot \right\|_{\infty }$, определённой в примере 6.34.

Пусть $n \in \mathbb {N}$, а $V$ — нормированное векторное пространство. Докажите, что каждое линейное отображение из $\mathbf{F}^{n}$ в $V$ непрерывно.

В этом упражнении, как и в предыдущем, $\mathbf{F}^{n}$ наделяется нормой $\left\| \cdot \right\|_{\infty }$, определённой в примере 6.34.

Пусть $n \in \mathbb {N}$, $V$ — нормированное векторное пространство, а $T: \mathbf{F}^{n} \rightarrow V$ — линейное отображение, инъективное и сюръективное на $V$.

Пусть $n \in \mathbb {N}$.

Пусть $V$ и $W$ — нормированные векторные пространства, причём $V$ конечномерно. Докажите, что каждое линейное отображение из $V$ в $W$ непрерывно.

Докажите, что каждое конечномерное нормированное векторное пространство является банаховым пространством.

Докажите, что каждое конечномерное подпространство любого нормированного векторного пространства замкнуто.

Приведите конкретный пример бесконечномерного нормированного векторного пространства и базиса этого пространства.

Покажите, что семейство $\mathcal{A} = \left\{ k \mathbb {Z}: k = 2,3,4, \ldots \right\}$ подмножеств $\mathbb {Z}$ удовлетворяет условию леммы Цорна (6.60).

Докажите, что каждое линейно независимое семейство в векторном пространстве можно дополнить до базиса этого векторного пространства.

Пусть $V$ — нормированное векторное пространство, $U$ — подпространство $V$, а $\psi : U \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченный линейный функционал. Докажите, что $\psi$ имеет единственное продолжение до ограниченного линейного функционала $\varphi$ на $V$ с $\left\| \varphi \right\| = \left\| \psi \right\|$ тогда и только тогда, когда

для каждого $h \in V \setminus U$.

Покажите, что существует линейный функционал $\varphi : \ell^{\infty } \rightarrow \mathbf{F}$, такой что

для всех $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right) \in \ell^{\infty }$ и

для всех $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right) \in \ell^{\infty }$, для которых предел, стоящий справа, существует.

Пусть $B$ — открытый шар в нормированном векторном пространстве $V$, такой что $0 \notin B$. Докажите, что существует $\varphi \in V^{\prime }$, такой что

для всех $f \in B$.

Покажите, что сопряжённое пространство каждого бесконечномерного нормированного векторного пространства бесконечномерно.

Нормированное векторное пространство называется сепарабельным, если оно содержит счётное подмножество, замыкание которого равно всему пространству.

Пусть $V$ — сепарабельное нормированное векторное пространство. Объясните, как теорему Хана–Банаха (6.69) для $V$ можно доказать, не используя никаких результатов (таких как лемма Цорна), зависящих от аксиомы выбора.

Нормированное векторное пространство называется сепарабельным, если оно содержит счётное подмножество, замыкание которого равно всему пространству.

Пусть $V$ — нормированное векторное пространство, такое что сопряжённое пространство $V^{\prime }$ является сепарабельным банаховым пространством. Докажите, что $V$ сепарабельно.

Нормированное векторное пространство называется сепарабельным, если оно содержит счётное подмножество, замыкание которого равно всему пространству.

Докажите, что сопряжённое пространство банахова пространства $C([0,1])$ не сепарабельно; здесь норма на $C([0,1])$ определена как $\left\| f\right\| = \sup \left|f\right|$.

Вторым сопряжённым пространством нормированного векторного пространства называется сопряжённое пространство к сопряжённому пространству. Если $V$ — нормированное векторное пространство, то второе сопряжённое пространство $V$ обозначается через $V^{\prime \prime }$; таким образом, $V^{\prime \prime } = \left(V^{\prime }\right)^{\prime }$. Норма на $V^{\prime \prime }$ определяется как норма, которую оно получает как сопряжённое пространство к $V^{\prime }$.

Определим $\Phi : V \rightarrow V^{\prime \prime }$ как

для $f \in V$ и $\varphi \in V^{\prime }$. Покажите, что $\left\| \Phi f\right\| = \left\| f\right\|$ для каждого $f \in V$.

Пусть $V$ — бесконечномерное нормированное векторное пространство. Покажите, что существует выпуклое подмножество $U$ пространства $V$, такое что $\overline{U} = V$ и такое что дополнение $V \setminus U$ также является выпуклым подмножеством $V$ с $\overline{V \setminus U} = V$.