Нормированные векторные пространства

Покажите, что отображение $f \mapsto \left\| f\right\|$ из нормированного векторного пространства $V$ в $\mathbf{F}$ непрерывно (норма на $\mathbf{F}$ — это обычный модуль).

Докажите, что если $V$ — нормированное векторное пространство, $f \in V$ и $r > 0$, то

Покажите, что функции, определённые в последних двух пунктах примера 6.35, не являются нормами.

Докажите, что каждая последовательность Коши в нормированном векторном пространстве ограничена (это означает, что существует вещественное число, большее нормы каждого элемента этой последовательности).

Покажите, что если $n \in \mathbb {N}$, то $\mathbf{F}^{n}$ является банаховым пространством с каждой из двух норм, использованных в первом пункте примера 6.34.

Пусть $X$ — непустое множество, а $b(X)$ — векторное пространство ограниченных функций из $X$ в $\mathbf{F}$. Докажите, что если норма $\left\| \cdot \right\|$ на $b(X)$ определена как $\left\| f\right\| = \sup_{X}\left|f\right|$, то $b(X)$ является банаховым пространством.

Покажите, что $\ell^{1}$ с нормой, определённой как $\left\| \left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right)\right\|_{\infty } = \sup \left|a_{k}\right|$, не является банаховым пространством.

Покажите, что $\ell^{1}$ с нормой, определённой как $\left\| \left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right)\right\|_{1} = \sum_{k = 1}^{\infty }\left|a_{k}\right|$, является банаховым пространством.

Покажите, что векторное пространство $C([0,1])$ непрерывных функций из $[0,1]$ в $\mathbf{F}$ с нормой, определённой как $\left\| f\right\| = \int_{0}^{1}\left|f\right|$, не является банаховым пространством.

Пусть $U$ — подпространство нормированного векторного пространства $V$, такое что некоторый открытый шар в $V$ содержится в $U$. Докажите, что $U = V$.

Докажите, что единственные подмножества нормированного векторного пространства $V$, одновременно открытые и замкнутые, — это $\varnothing$ и $V$.

Пусть $V$ — нормированное векторное пространство. Докажите, что замыкание каждого подпространства пространства $V$ является подпространством $V$.

Пусть $U$ — нормированное векторное пространство. Пусть $d$ — метрика на $U$, определённая как $d(f, g) = \left\| f-g\right\|$ для $f, g \in U$. Пусть $V$ — полное метрическое пространство, построенное в упражнении 16 раздела 6A.

Пусть $U$ — подпространство нормированного векторного пространства $V$. Пусть также $W$ — банахово пространство, а $S: U \rightarrow W$ — ограниченный линейный оператор.

Для читателей, знакомых с фактор-пространством векторного пространства по подпространству: Пусть $V$ — нормированное векторное пространство, а $U$ — подпространство $V$. Определим норму $\left\| \cdot \right\|$ на $V / U$ как

Пусть $V$ и $W$ — нормированные векторные пространства с $V \neq \left\{ 0\right\}$, а $T: V \rightarrow W$ — линейный оператор.

Пусть $U, V$ и $W$ — нормированные векторные пространства, а $T: U \rightarrow V$ и $S: V \rightarrow W$ — линейные отображения. Докажите, что $\left\| S \circ T\right\| \leq \left\| S\right\| \left\| T\right\|$.

Пусть $V$ и $W$ — нормированные векторные пространства, а $T: V \rightarrow W$ — линейный оператор. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

1. $T$ ограничен.

2. Существует $f \in V$, такой что $T$ непрерывен в точке $f$.

3. $T$ равномерно непрерывен (это означает, что для каждого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$, такое что $\left\| T f-T g\right\| < \varepsilon$ для всех $f, g \in V$ с $\left\| f-g\right\| < \delta$).

4. $T^{-1}(B(0_W, r))$ — открытое подмножество $V$ для некоторого $r > 0$.