Банк задач по математике

Задача 6A.1

Проверьте, что каждая из заявленных метрик в примере 6.2 действительно является метрикой.

?

Примечание.

?

Пример 6.2:

Для непустого множества $V$ определим $d$ на $V \times V$ : $d(f,g) = 1$ , если $f \neq g$ , и $d(f,g) = 0$ , если $f = g$ . Тогда $d$ — метрика на $V$ .
Определим $d$ на $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ формулой $d(x,y) = \left|x-y\right|$ . Тогда $d$ — метрика на $\mathbb {R}$ .
Для $n \in \mathbb {N}$ определим $d$ на $\mathbb {R}^{n} \times \mathbb {R}^{n}$ формулой $d\left((x_1,\ldots ,x_n),(y_1,\ldots ,y_n)\right) = \max \left\{ \left|x_1-y_1\right|,\ldots ,\left|x_n-y_n\right|\right\}$ . Тогда $d$ — метрика на $\mathbb {R}^{n}$ .
Определим $d$ на $C([0,1]) \times C([0,1])$ формулой $d(f,g) = \sup \left\{ \left|f(t)-g(t)\right| : t \in [0,1]\right\}$ , где $C([0,1])$ — множество непрерывных вещественнозначных функций на $[0,1]$ . Тогда $d$ — метрика на $C([0,1])$ .
Определим $d$ на $\ell^{1} \times \ell^{1}$ формулой $d\left((a_1,a_2,\ldots ),(b_1,b_2,\ldots )\right) = \sum_{k=1}^{\infty }\left|a_k-b_k\right|$ , где $\ell^{1}$ — множество последовательностей $(a_1,a_2,\ldots )$ вещественных чисел таких, что $\sum_{k=1}^{\infty }\left|a_k\right| < \infty$ . Тогда $d$ — метрика на $\ell^{1}$ .

Задача 6A.2

Докажите, что каждое конечное подмножество метрического пространства замкнуто.

?

Задача 6A.3

Докажите, что каждый замкнутый шар в метрическом пространстве замкнут.

?

Задача 6A.4

(a)(b)

Пусть $V$ — метрическое пространство.

?

(a)

Докажите, что объединение любой совокупности открытых подмножеств $V$ является открытым подмножеством $V$ .

(b)

Докажите, что пересечение любой конечной совокупности открытых подмножеств $V$ является открытым подмножеством $V$ .

Задача 6A.5

(a)(b)

Пусть $V$ — метрическое пространство.

?

(a)

Докажите, что пересечение любой совокупности замкнутых подмножеств $V$ является замкнутым подмножеством $V$ .

(b)

Докажите, что объединение любой конечной совокупности замкнутых подмножеств $V$ является замкнутым подмножеством $V$ .

Задача 6A.6

(a)(b)

?

(a)

Докажите, что если $V$ — метрическое пространство, $f \in V$ и $r > 0$ , то $\overline{B(f, r)} \subseteq \overline{B}(f, r)$ .

(b)

Приведите пример метрического пространства $V$ , точки $f \in V$ и $r > 0$ , таких что $\overline{B(f, r)} \neq \overline{B}(f, r)$ .

Задача 6A.7

Покажите, что каждая последовательность в метрическом пространстве имеет не более одного предела.

?

Задача 6A.8

Докажите 6.9.

?

Примечание.

?

6.9 (замыкание): Пусть $V$ — метрическое пространство и $E \subseteq V$ . Тогда

$\overline{E} = \left\{ g \in V: \text{существуют } f_{1}, f_{2}, \ldots \text{ в } E \text{ такие, что } \lim_{k \rightarrow \infty } f_{k} = g\right\}$ ;
$\overline{E}$ — пересечение всех замкнутых подмножеств $V$ , содержащих $E$ ;
$\overline{E}$ — замкнутое подмножество $V$ ;
$E$ замкнуто тогда и только тогда, когда $E = \overline{E}$ ;
$E$ замкнуто тогда и только тогда, когда $E$ содержит предел каждой сходящейся последовательности элементов $E$ .

Задача 6A.9

Докажите, что каждое открытое подмножество метрического пространства $V$ является объединением некоторой последовательности замкнутых подмножеств $V$ .

?

Задача 6A.10

Докажите или приведите контрпример: если $V$ — метрическое пространство и $U, W$ — подмножества $V$ , то $\overline{U} \cup \overline{W} = \overline{U \cup W}$ .

?

Задача 6A.11

Докажите или приведите контрпример: если $V$ — метрическое пространство и $U, W$ — подмножества $V$ , то $\overline{U} \cap \overline{W} = \overline{U \cap W}$ .

?

Задача 6A.12

(a)(b)(c)

Пусть $\left(U, d_{U}\right),\left(V, d_{V}\right)$ и $\left(W, d_{W}\right)$ — метрические пространства. Пусть также $T: U \rightarrow V$ и $S: V \rightarrow W$ — непрерывные функции.

?

(a)

Используя определение непрерывности, покажите, что $S \circ T: U \rightarrow W$ непрерывна.

(b)

Используя эквивалентность 6.11(a) и 6.11(b), покажите, что $S \circ T: U \rightarrow W$ непрерывна.

(c)

Используя эквивалентность 6.11(a) и 6.11(c), покажите, что $S \circ T: U \rightarrow W$ непрерывна.

Примечание.

?

6.11 (эквивалентные условия непрерывности): Пусть $V$ и $W$ — метрические пространства, а $T: V \rightarrow W$ — функция. Тогда следующие условия эквивалентны:

$T$ непрерывна.
$\lim_{k \rightarrow \infty } f_{k} = f$ в $V$ влечёт $\lim_{k \rightarrow \infty } T(f_{k}) = T(f)$ в $W$ .
$T^{-1}(G)$ — открытое подмножество $V$ для каждого открытого множества $G \subseteq W$ .
$T^{-1}(F)$ — замкнутое подмножество $V$ для каждого замкнутого множества $F \subseteq W$ .

Задача 6A.13

Докажите те части 6.11, которые не были доказаны в тексте.

?

Примечание.

?

6.11 (эквивалентные условия непрерывности): Пусть $V$ и $W$ — метрические пространства, а $T: V \rightarrow W$ — функция. Тогда следующие условия эквивалентны:

$T$ непрерывна.
$\lim_{k \rightarrow \infty } f_{k} = f$ в $V$ влечёт $\lim_{k \rightarrow \infty } T(f_{k}) = T(f)$ в $W$ .
$T^{-1}(G)$ — открытое подмножество $V$ для каждого открытого множества $G \subseteq W$ .
$T^{-1}(F)$ — замкнутое подмножество $V$ для каждого замкнутого множества $F \subseteq W$ . Доказательство в тексте показывает, что (b) влечёт (d), а также что (c) и (d) эквивалентны.

Задача 6A.14

Пусть последовательность Коши в метрическом пространстве имеет сходящуюся подпоследовательность. Докажите, что эта последовательность Коши сходится.

?

Задача 6A.15

Проверьте, что все пять метрических пространств из примера 6.2 являются полными метрическими пространствами.

?

Примечание.

?

Пример 6.2:

Для непустого множества $V$ определим $d$ на $V \times V$ : $d(f,g) = 1$ , если $f \neq g$ , и $d(f,g) = 0$ , если $f = g$ . Тогда $d$ — метрика на $V$ .
Определим $d$ на $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ формулой $d(x,y) = \left|x-y\right|$ . Тогда $d$ — метрика на $\mathbb {R}$ .
Для $n \in \mathbb {N}$ определим $d$ на $\mathbb {R}^{n} \times \mathbb {R}^{n}$ формулой $d\left((x_1,\ldots ,x_n),(y_1,\ldots ,y_n)\right) = \max \left\{ \left|x_1-y_1\right|,\ldots ,\left|x_n-y_n\right|\right\}$ . Тогда $d$ — метрика на $\mathbb {R}^{n}$ .
Определим $d$ на $C([0,1]) \times C([0,1])$ формулой $d(f,g) = \sup \left\{ \left|f(t)-g(t)\right| : t \in [0,1]\right\}$ , где $C([0,1])$ — множество непрерывных вещественнозначных функций на $[0,1]$ . Тогда $d$ — метрика на $C([0,1])$ .
Определим $d$ на $\ell^{1} \times \ell^{1}$ формулой $d\left((a_1,a_2,\ldots ),(b_1,b_2,\ldots )\right) = \sum_{k=1}^{\infty }\left|a_k-b_k\right|$ , где $\ell^{1}$ — множество последовательностей $(a_1,a_2,\ldots )$ вещественных чисел таких, что $\sum_{k=1}^{\infty }\left|a_k\right| < \infty$ . Тогда $d$ — метрика на $\ell^{1}$ .

Задача 6A.16

Пусть $(U, d)$ — метрическое пространство. Пусть $W$ обозначает множество всех последовательностей Коши элементов $U$ .

?

(a)

Для $\left(f_{1}, f_{2}, \ldots \right)$ и $\left(g_{1}, g_{2}, \ldots \right)$ из $W$ определим $\left(f_{1}, f_{2}, \ldots \right) \equiv \left(g_{1}, g_{2}, \ldots \right)$ , означающее, что

\lim _{k \rightarrow \infty } d\left(f_{k}, g_{k}\right) = 0

Покажите, что $\equiv$ является отношением эквивалентности на $W$ .

(b)

Пусть $V$ обозначает множество классов эквивалентности элементов $W$ по указанному выше отношению эквивалентности. Для $\left(f_{1}, f_{2}, \ldots \right) \in W$ пусть $\left(f_{1}, f_{2}, \ldots \right)^{\wedge }$ обозначает класс эквивалентности $\left(f_{1}, f_{2}, \ldots \right)$ . Определим $d_{V}: V \times V \rightarrow [0, \infty )$ как

d_{V}\left(\left(f_{1}, f_{2}, \ldots \right)^{\wedge },\left(g_{1}, g_{2}, \ldots \right)^{\wedge }\right) = \lim _{k \rightarrow \infty } d\left(f_{k}, g_{k}\right)

Покажите, что это определение $d_{V}$ корректно и что $d_{V}$ является метрикой на $V$ .

(c)

Покажите, что $\left(V, d_{V}\right)$ является полным метрическим пространством.

(d)

Покажите, что отображение из $U$ в $V$ , переводящее $f \in U$ в $(f, f, f, \ldots )^{\wedge }$ , сохраняет расстояния, то есть что

d(f, g) = d_{V}\left((f, f, f, \ldots )^{\wedge },(g, g, g, \ldots )^{\wedge }\right)

для всех $f, g \in U$ .

(e)

Объясните, почему из (d) следует, что каждое метрическое пространство является подмножеством некоторого полного метрического пространства.

Метрические пространства