Следствия теоремы Бэра

Пусть $U$ — подмножество метрического пространства $V$. Покажите, что $U$ плотно в $V$ тогда и только тогда, когда каждое непустое открытое подмножество $V$ содержит хотя бы один элемент $U$.

Пусть $U$ — подмножество метрического пространства $V$. Покажите, что внутренность $U$ пуста тогда и только тогда, когда $V \setminus U$ плотно в $V$.

Докажите или приведите контрпример: если $V$ — метрическое пространство, а $U, W$ — подмножества $V$, то $(\operatorname {int} U) \cup (\operatorname {int} W) = \operatorname {int}(U \cup W)$.

Докажите или приведите контрпример: если $V$ — метрическое пространство, а $U, W$ — подмножества $V$, то $(\operatorname {int} U) \cap (\operatorname {int} W) = \operatorname {int}(U \cap W)$.

Пусть

и $d(x, y) = \left|x-y\right|$ для $x, y \in X$.

Приведите пример метрического пространства, являющегося счётным объединением замкнутых подмножеств с пустой внутренностью.

Пусть $(X, d)$ — полное метрическое пространство, а $G_{1}, G_{2}, \ldots$ — последовательность плотных открытых подмножеств $X$. Докажите, что $\bigcap_{k = 1}^{\infty } G_{k}$ является плотным подмножеством $X$.

Докажите, что не существует бесконечномерного банахова пространства со счётным базисом.

Приведите пример банахова пространства $V$, нормированного векторного пространства $W$, ограниченного линейного отображения $T$ пространства $V$ на $W$ и открытого подмножества $G$ пространства $V$ таких, что $T(G)$ не является открытым подмножеством $W$.

Покажите, что существуют нормированное векторное пространство $V$, банахово пространство $W$, ограниченное линейное отображение $T$ пространства $V$ на $W$ и открытое подмножество $G$ пространства $V$ такие, что $T(G)$ не является открытым подмножеством $W$.

Линейное отображение $T: V \rightarrow W$ из нормированного векторного пространства $V$ в нормированное векторное пространство $W$ называется ограниченным снизу, если существует $c \in (0, \infty )$ такое, что $\left\| f\right\| \leq c\left\| T f\right\|$ для всех $f \in V$.

Пусть $T: V \rightarrow W$ — ограниченное линейное отображение из банахова пространства $V$ в банахово пространство $W$. Докажите, что $T$ ограничено снизу тогда и только тогда, когда $T$ инъективно, а образ $T$ является замкнутым подпространством $W$.

Приведите пример банахова пространства $V$, нормированного векторного пространства $W$ и взаимно однозначного ограниченного линейного отображения $T$ пространства $V$ на $W$ такого, что $T^{-1}$ не является ограниченным линейным отображением $W$ на $V$.

Покажите, что существуют нормированное пространство $V$, банахово пространство $W$ и взаимно однозначное ограниченное линейное отображение $T$ пространства $V$ на $W$ такое, что $T^{-1}$ не является ограниченным линейным отображением $W$ на $V$.

Докажите 6.84.

Пусть $V$ — банахово пространство с нормой $\left\| \cdot \right\|$, а $\varphi : V \rightarrow \mathbf{F}$ — линейный функционал. Определим другую норму $\left\| \cdot \right\|_{\varphi }$ на $V$ формулой

Докажите, что если $V$ — банахово пространство с нормой $\left\| \cdot \right\|_{\varphi }$, то $\varphi$ является непрерывным линейным функционалом на $V$ (с исходной нормой).

Пусть $V$ — банахово пространство, $W$ — нормированное векторное пространство, а $T_{1}, T_{2}, \ldots$ — последовательность ограниченных линейных отображений из $V$ в $W$ такая, что $\lim_{k \rightarrow \infty } T_{k} f$ существует для каждого $f \in V$. Определим $T: V \rightarrow W$ формулой

для $f \in V$. Докажите, что $T$ — ограниченное линейное отображение из $V$ в $W$.

Пусть $V$ — нормированное векторное пространство, а $B$ — подмножество $V$ такое, что

для каждого $\varphi \in V^{\prime }$. Докажите, что

Пусть $T: V \rightarrow W$ — линейное отображение из банахова пространства $V$ в банахово пространство $W$ такое, что

Докажите, что $T$ — ограниченное линейное отображение.