Меры

Докажите, что если $A$ и $B$ — подмножества $\mathbb {R}$ и $\left|B\right| = 0$, то $\left|A \cup B\right| = \left|A\right|$.

Пусть $A \subseteq \mathbb {R}$ и $t \in \mathbb {R}$. Обозначим $t A = \left\{ t a: a \in A\right\}$. Докажите, что $\left|t A\right| = \left|t\right|\left|A\right|$.

Докажите, что если $A, B \subseteq \mathbb {R}$ и $\left|A\right| < \infty$, то $\left|B \backslash A\right| \geq \left|B\right|-\left|A\right|$.

Пусть $F$ — подмножество $\mathbb {R}$, обладающее тем свойством, что каждое открытое покрытие $F$ имеет конечное подпокрытие. Докажите, что $F$ замкнуто и ограничено.

Пусть $\mathcal{A}$ — набор замкнутых подмножеств $\mathbb {R}$ такой, что $\bigcap_{F \in \mathcal{A}} F = \varnothing$. Докажите, что если $\mathcal{A}$ содержит хотя бы одно ограниченное множество, то существуют $n \in \mathbb {N}$ и $F_{1}, \ldots , F_{n} \in \mathcal{A}$ такие, что $F_{1} \cap \cdots \cap F_{n} = \varnothing$.

Докажите, что если $a, b \in \mathbb {R}$ и $a < b$, то

Пусть $a, b, c, d$ — вещественные числа такие, что $a < b$ и $c < d$. Докажите, что

Докажите, что если $A \subseteq \mathbb {R}$ и $t > 0$, то $\left|A\right| = \left|A \cap (-t, t)\right|+\left|A \cap (\mathbb {R} \backslash (-t, t))\right|$.

Докажите, что $\left|A\right| = \lim_{t \rightarrow \infty }\left|A \cap (-t, t)\right|$ для всех $A \subseteq \mathbb {R}$.

Докажите, что $\left|[0,1] \backslash \mathbb {Q}\right| = 1$.

Докажите, что если $I_{1}, I_{2}, \ldots$ — последовательность попарно непересекающихся интервалов, то

Пусть $r_{1}, r_{2}, \ldots$ — последовательность, содержащая каждое рациональное число. Обозначим

Пусть $\varepsilon > 0$. Докажите, что существует подмножество $F$ отрезка $[0,1]$ такое, что $F$ замкнуто, каждый элемент $F$ является иррациональным числом, и $\left|F\right| > 1-\varepsilon$.

Рассмотрим следующий рисунок, выполненный точно в масштабе.

Покажите, что $\mathcal{S} = \left\{ \bigcup_{n \in K}(n, n+1]: K \subseteq \mathbb {Z}\right\}$ — $\sigma$-алгебра на $\mathbb {R}$.

Проверьте оба пункта в примере 2.28.

Пусть $\mathcal{S}$ — наименьшая $\sigma$-алгебра на $\mathbb {R}$, содержащая $\left\{ (r, s]: r, s \in \mathbb {Q}\right\}$. Докажите, что $\mathcal{S}$ — совокупность борелевских подмножеств $\mathbb {R}$.

Пусть $\mathcal{S}$ — наименьшая $\sigma$-алгебра на $\mathbb {R}$, содержащая $\left\{ (r, n]: r \in \mathbb {Q}, n \in \mathbb {Z}\right\}$. Докажите, что $\mathcal{S}$ — совокупность борелевских подмножеств $\mathbb {R}$.

Пусть $\mathcal{S}$ — наименьшая $\sigma$-алгебра на $\mathbb {R}$, содержащая $\left\{ (r, r+1): r \in \mathbb {Q}\right\}$. Докажите, что $\mathcal{S}$ — совокупность борелевских подмножеств $\mathbb {R}$.

Пусть $\mathcal{S}$ — наименьшая $\sigma$-алгебра на $\mathbb {R}$, содержащая $\left\{ [r, \infty ): r \in \mathbb {Q}\right\}$. Докажите, что $\mathcal{S}$ — совокупность борелевских подмножеств $\mathbb {R}$.

Докажите, что совокупность борелевских подмножеств $\mathbb {R}$ инвариантна относительно сдвигов. Точнее, докажите, что если $B \subseteq \mathbb {R}$ — борелевское множество и $t \in \mathbb {R}$, то $t+B$ — борелевское множество.

Докажите, что совокупность борелевских подмножеств $\mathbb {R}$ инвариантна относительно растяжений. Точнее, докажите, что если $B \subseteq \mathbb {R}$ — борелевское множество и $t \in \mathbb {R}$, то $t B$ (которое по определению равно $\left\{ t b: b \in B\right\}$) — борелевское множество.

Приведите пример измеримого пространства $(X, \mathcal{S})$ и функции $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ такой, что $\left|f\right|$ является $\mathcal{S}$-измеримой, но $f$ не является $\mathcal{S}$-измеримой.

Покажите, что множество вещественных чисел, в десятичном разложении которых цифра 5 встречается бесконечно часто, является борелевским множеством.

Пусть $\mathcal{T}$ — $\sigma$-алгебра на множестве $Y$ и $X \in \mathcal{T}$. Обозначим $\mathcal{S} = \left\{ E \in \mathcal{T}: E \subseteq X\right\}$.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — функция.

Пусть $(X, \mathcal{S})$ — измеримое пространство, $E_{1}, \ldots , E_{n}$ — попарно непересекающиеся подмножества $X$, а $c_{1}, \ldots , c_{n}$ — попарно различные ненулевые вещественные числа. Докажите, что $c_{1} \chi_{E_{1}}+\cdots +c_{n} \chi_{E_{n}}$ является $\mathcal{S}$-измеримой функцией тогда и только тогда, когда $E_{1}, \ldots , E_{n} \in \mathcal{S}$.

Пусть $X$ — множество и $E_{1}, E_{2}, \ldots$ — последовательность попарно непересекающихся подмножеств $X$ такая, что $\bigcup_{k = 1}^{\infty } E_{k} = X$. Обозначим $\mathcal{S} = \left\{ \bigcup_{k \in K} E_{k}: K \subseteq \mathbb {N}\right\}$.

Пусть $\mathcal{S}$ — $\sigma$-алгебра на множестве $X$ и $A \subseteq X$. Обозначим

Пусть $X$ — борелевское подмножество $\mathbb {R}$, а $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ — функция, такая что $\left\{ x \in X: f\text{ не является непрерывной в точке }x\right\}$ является счётным множеством. Докажите, что $f$ — борелевски измеримая функция.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ дифференцируема в каждой точке $\mathbb {R}$. Докажите, что $f^{\prime }$ — борелевски измеримая функция из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$.

Пусть $X$ — непустое множество и $\mathcal{S}$ — $\sigma$-алгебра на $X$, состоящая из всех подмножеств $X$, которые либо счётны, либо имеют счётное дополнение в $X$. Дайте характеризацию $\mathcal{S}$-измеримых вещественнозначных функций на $X$.

Пусть $(X, \mathcal{S})$ — измеримое пространство и $f, g: X \rightarrow \mathbb {R}$ — $\mathcal{S}$-измеримые функции. Докажите, что если $f(x) > 0$ для всех $x \in X$, то $f^{g}$ (функция, значение которой в точке $x \in X$ равно $f(x)^{g(x)}$) является $\mathcal{S}$-измеримой функцией.

Докажите 2.52.

Пусть $B \subseteq \mathbb {R}$ и $f: B \rightarrow \mathbb {R}$ — возрастающая функция. Докажите, что $f$ непрерывна в каждой точке $B$, кроме, быть может, точек некоторого счётного подмножества $B$.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — строго возрастающая функция. Докажите, что обратная функция $f^{-1}: f(\mathbb {R}) \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — строго возрастающая функция и $B \subseteq \mathbb {R}$ — борелевское множество. Докажите, что $f(B)$ — борелевское множество.

Пусть $B \subseteq \mathbb {R}$ и $f: B \rightarrow \mathbb {R}$ — возрастающая функция. Докажите, что существует последовательность $f_{1}, f_{2}, \ldots$ строго возрастающих функций из $B$ в $\mathbb {R}$ такая, что

для каждого $x \in B$.

Пусть $B \subseteq \mathbb {R}$ и $f: B \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченная возрастающая функция. Докажите, что существует возрастающая функция $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ такая, что $g(x) = f(x)$ для всех $x \in B$.

Докажите или приведите контрпример: если $(X, \mathcal{S})$ — измеримое пространство и

— функция такая, что $f^{-1}((a, \infty )) \in \mathcal{S}$ для каждого $a \in \mathbb {R}$, то $f$ является $\mathcal{S}$-измеримой функцией.

Пусть $f: B \rightarrow \mathbb {R}$ — борелевски измеримая функция. Определим $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ следующим образом:

Докажите, что $g$ — борелевски измеримая функция.

Приведите пример измеримого пространства $(X, \mathcal{S})$ и семейства $\left\{ f_{t}\right\}_{t \in \mathbb {R}}$ такого, что каждая $f_{t}$ является $\mathcal{S}$-измеримой функцией из $X$ в $[0,1]$, но функция $f: X \rightarrow [0,1]$, определённая как

не является $\mathcal{S}$-измеримой.

Покажите, что

для каждого $x \in \mathbb {R}$.

Объясните, почему не существует пространства с мерой $(X, \mathcal{S}, \mu )$ такого, что $\left\{ \mu (E): E \in \mathcal{S}\right\} = [0,1)$.

Через $2^{\mathbb {N}}$ обозначим $\sigma$-алгебру на $\mathbb {N}$, состоящую из всех подмножеств $\mathbb {N}$. Пусть $\mu$ — мера на $\left(\mathbb {N}, 2^{\mathbb {N}}\right)$. Докажите, что существует последовательность $w_{1}, w_{2}, \ldots$ в $[0, \infty ]$ такая, что

для каждого множества $E \subseteq \mathbb {N}$.

Приведите пример меры $\mu$ на $\left(\mathbb {N}, 2^{\mathbb {N}}\right)$ такой, что

Приведите пример пространства с мерой $(X, \mathcal{S}, \mu )$ такого, что

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой такое, что $\mu (X) < \infty$. Докажите, что если $\mathcal{A}$ — семейство непересекающихся множеств из $\mathcal{S}$ таких, что $\mu (A) > 0$ для каждого $A \in \mathcal{A}$, то $\mathcal{A}$ — счётное множество.

Найдите все $c \in [3, \infty )$, для которых существует пространство с мерой $(X, \mathcal{S}, \mu )$ такое, что

Приведите пример пространства с мерой $(X, \mathcal{S}, \mu )$ такого, что

Приведите пример множества $X$, $\sigma$-алгебры $\mathcal{S}$ подмножеств $X$, семейства $\mathcal{A}$ подмножеств $X$ такого, что наименьшая $\sigma$-алгебра на $X$, содержащая $\mathcal{A}$, есть $\mathcal{S}$, и двух мер $\mu$ и $\nu$ на $(X, \mathcal{S})$ таких, что $\mu (A) = \nu (A)$ для всех $A \in \mathcal{A}$ и $\mu (X) = \nu (X) < \infty$, но $\mu \neq \nu$.

Пусть $\mu$ и $\nu$ — меры на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$. Докажите, что $\mu +\nu$ — мера на $(X, \mathcal{S})$.

Приведите пример пространства с мерой $(X, \mathcal{S}, \mu )$ и убывающей последовательности $E_{1} \supseteq E_{2} \supseteq \cdots$ множеств из $\mathcal{S}$ такой, что

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой и $C, D, E \in \mathcal{S}$ таковы, что

Найдите и докажите формулу для $\mu (C \cup D \cup E)$ через $\mu (C), \mu (D), \mu (E)$, $\mu (C \cap D), \mu (C \cap E), \mu (D \cap E)$ и $\mu (C \cap D \cap E)$.

Пусть $X$ — множество и $\mathcal{S}$ — $\sigma$-алгебра всех подмножеств $E$ множества $X$ таких, что $E$ счётно или $X \backslash E$ счётно. Дайте полное описание множества всех мер на $(X, \mathcal{S})$.

Докажите, что существует ограниченное множество $A \subseteq \mathbb {R}$ такое, что $\left|F\right| \leq \left|A\right|-1$ для каждого замкнутого множества $F \subseteq A$.

Докажите, что существует множество $A \subseteq \mathbb {R}$ такое, что $\left|G \backslash A\right| = \infty$ для каждого открытого множества $G$, содержащего $A$.

Термин нетривиальный промежуток используется для обозначения промежутка в $\mathbb {R}$, содержащего более одного элемента. Напомним, что промежуток может быть открытым, замкнутым или ни тем, ни другим.

Докажите, что если $A \subseteq \mathbb {R}$ измеримо по Лебегу, то существует возрастающая последовательность $F_{1} \subseteq F_{2} \subseteq \cdots$ замкнутых множеств, содержащихся в $A$, такая, что

Пусть $A \subseteq \mathbb {R}$ и $\left|A\right| < \infty$. Докажите, что $A$ измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда для каждого $\varepsilon > 0$ существует множество $G$, являющееся объединением конечного числа непересекающихся ограниченных интервалов, такое, что $\left|A \backslash G\right|+\left|G \backslash A\right| < \varepsilon$.

Докажите, что если $A \subseteq \mathbb {R}$ измеримо по Лебегу, то существует убывающая последовательность $G_{1} \supseteq G_{2} \supseteq \cdots$ открытых множеств, содержащих $A$, такая, что

Докажите, что совокупность измеримых по Лебегу подмножеств $\mathbb {R}$ инвариантна относительно сдвигов. Точнее, докажите, что если $A \subseteq \mathbb {R}$ измеримо по Лебегу и $t \in \mathbb {R}$, то $t+A$ измеримо по Лебегу.

Докажите, что совокупность измеримых по Лебегу подмножеств $\mathbb {R}$ инвариантна относительно растяжений. Точнее, докажите, что если $A \subseteq \mathbb {R}$ измеримо по Лебегу и $t \in \mathbb {R}$, то $t A$ (определённое как $\left\{ t a: a \in A\right\}$) измеримо по Лебегу.

Докажите, что если $A$ и $B$ — непересекающиеся подмножества $\mathbb {R}$ и $B$ измеримо по Лебегу, то $\left|A \cup B\right| = \left|A\right|+\left|B\right|$.

Докажите, что если $A \subseteq \mathbb {R}$ и $\left|A\right| > 0$, то существует подмножество $A$, не измеримое по Лебегу.

Пусть $b < c$ и $A \subseteq (b, c)$. Докажите, что $A$ измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда $\left|A\right|+\left|(b, c) \backslash A\right| = c-b$.

Пусть $A \subseteq \mathbb {R}$. Докажите, что $A$ измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда

для каждого $n \in \mathbb {N}$.

Покажите, что $\frac{1}{4}$ и $\frac{9}{13}$ оба принадлежат канторову множеству.

Покажите, что $\frac{13}{17}$ не принадлежит канторову множеству.

Перечислите восемь открытых интервалов, объединение которых составляет $G_{4}$ в определении канторова множества (2.74).

Пусть $C$ обозначает канторово множество. Докажите, что $\left\{ \frac{1}{2} x+\frac{1}{2} y: x, y \in C\right\} = [0,1]$.

Докажите, что каждый интервал в $\mathbb {R}$ содержит либо бесконечно много элементов канторова множества, либо ни одного.

Вычислите $\int_{0}^{1} \Lambda$, где $\Lambda$ — функция Кантора.

Вычислите каждое из следующих значений:

Найдите каждое из следующих множеств:

Покажите, что существует функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ такая, что образ каждого непустого открытого интервала при отображении $f$ равен $\mathbb {R}$.

Для $A \subseteq \mathbb {R}$ величина

называется внутренней мерой множества $A$.

Пусть $X$ — конечное множество. Объясните, почему последовательность функций из $X$ в $\mathbb {R}$, поточечно сходящаяся на $X$, также сходится на $X$ равномерно.

Приведите пример последовательности функций из $\mathbb {N}$ в $\mathbb {R}$, которая сходится поточечно на $\mathbb {N}$, но не сходится равномерно на $\mathbb {N}$.

Приведите пример последовательности непрерывных функций $f_{1}, f_{2}, \ldots$ из $[0,1]$ в $\mathbb {R}$, которая сходится поточечно к функции $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$, не являющейся ограниченной.

Докажите утверждение или приведите контрпример: если $A \subseteq \mathbb {R}$ и $f_{1}, f_{2}, \ldots$ — последовательность равномерно непрерывных функций из $A$ в $\mathbb {R}$, равномерно сходящаяся к функции $f: A \rightarrow \mathbb {R}$, то $f$ равномерно непрерывна на $A$.

Приведите пример, показывающий, что теорема Егорова может не выполняться без предположения $\mu (X) < \infty$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, причём $\mu (X) < \infty$. Пусть $f_{1}, f_{2}, \ldots$ — последовательность $\mathcal{S}$-измеримых функций из $X$ в $\mathbb {R}$ такая, что $\lim_{k \rightarrow \infty } f_{k}(x) = \infty$ для каждого $x \in X$. Докажите, что для каждого $\varepsilon > 0$ существует множество $E \in \mathcal{S}$ такое, что $\mu (X \backslash E) < \varepsilon$ и $f_{1}, f_{2}, \ldots$ равномерно сходится к $\infty$ на $E$ (это означает, что для каждого $t > 0$ существует $n \in \mathbb {N}$ такое, что $f_{k}(x) > t$ для всех целых $k \geq n$ и всех $x \in E$).

Пусть $F$ — замкнутое ограниченное подмножество $\mathbb {R}$ и $g_{1}, g_{2}, \ldots$ — возрастающая последовательность непрерывных вещественнозначных функций на $F$ (то есть $g_{1}(x) \leq g_{2}(x) \leq \cdots$ для всех $x \in F$) такая, что $\sup \left\{ g_{1}(x), g_{2}(x), \ldots \right\} < \infty$ для каждого $x \in F$. Определим вещественнозначную функцию $g$ на $F$ формулой

Докажите, что $g$ непрерывна на $F$ тогда и только тогда, когда $g_{1}, g_{2}, \ldots$ сходится к $g$ равномерно на $F$.

Пусть $\mu$ — мера на $\left(\mathbb {N}, 2^{\mathbb {N}}\right)$, определённая формулой

Докажите, что для каждого $\varepsilon > 0$ существует множество $E \subseteq \mathbb {N}$ с $\mu \left(\mathbb {N} \backslash E\right) < \varepsilon$ такое, что $f_{1}, f_{2}, \ldots$ сходится на $E$ равномерно для любой последовательности функций $f_{1}, f_{2}, \ldots$ из $\mathbb {N}$ в $\mathbb {R}$, сходящейся поточечно на $\mathbb {N}$.

Пусть $F_{1}, \ldots , F_{n}$ — непересекающиеся замкнутые подмножества $\mathbb {R}$. Докажите, что если

— функция такая, что $\left.g\right|_{F_{k}}$ непрерывна для каждого $k \in \left\{ 1, \ldots , n\right\}$, то $g$ непрерывна.

Пусть $F \subseteq \mathbb {R}$ таково, что каждую непрерывную функцию из $F$ в $\mathbb {R}$ можно продолжить до непрерывной функции из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$. Докажите, что $F$ — замкнутое подмножество $\mathbb {R}$.

Докажите утверждение или приведите контрпример: если $F \subseteq \mathbb {R}$ таково, что каждую ограниченную непрерывную функцию из $F$ в $\mathbb {R}$ можно продолжить до непрерывной функции из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$, то $F$ — замкнутое подмножество $\mathbb {R}$.

Приведите пример борелевски измеримой функции $f$ из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$ такой, что не существует множества $B \subseteq \mathbb {R}$, для которого $\left|\mathbb {R} \backslash B\right| = 0$ и $\left.f\right|_{B}$ непрерывна на $B$.

Докажите утверждение или приведите контрпример: если $f_{t}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — борелевски измеримая функция для каждого $t \in \mathbb {R}$ и функция $f: \mathbb {R} \rightarrow (-\infty , \infty ]$ определена формулой