Сходимость измеримых функций

Пусть $X$ — конечное множество. Объясните, почему последовательность функций из $X$ в $\mathbb {R}$, поточечно сходящаяся на $X$, также сходится на $X$ равномерно.

Приведите пример последовательности функций из $\mathbb {N}$ в $\mathbb {R}$, которая сходится поточечно на $\mathbb {N}$, но не сходится равномерно на $\mathbb {N}$.

Приведите пример последовательности непрерывных функций $f_{1}, f_{2}, \ldots$ из $[0,1]$ в $\mathbb {R}$, которая сходится поточечно к функции $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$, не являющейся ограниченной.

Докажите утверждение или приведите контрпример: если $A \subseteq \mathbb {R}$ и $f_{1}, f_{2}, \ldots$ — последовательность равномерно непрерывных функций из $A$ в $\mathbb {R}$, равномерно сходящаяся к функции $f: A \rightarrow \mathbb {R}$, то $f$ равномерно непрерывна на $A$.

Приведите пример, показывающий, что теорема Егорова может не выполняться без предположения $\mu (X) < \infty$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, причём $\mu (X) < \infty$. Пусть $f_{1}, f_{2}, \ldots$ — последовательность $\mathcal{S}$-измеримых функций из $X$ в $\mathbb {R}$ такая, что $\lim_{k \rightarrow \infty } f_{k}(x) = \infty$ для каждого $x \in X$. Докажите, что для каждого $\varepsilon > 0$ существует множество $E \in \mathcal{S}$ такое, что $\mu (X \backslash E) < \varepsilon$ и $f_{1}, f_{2}, \ldots$ равномерно сходится к $\infty$ на $E$ (это означает, что для каждого $t > 0$ существует $n \in \mathbb {N}$ такое, что $f_{k}(x) > t$ для всех целых $k \geq n$ и всех $x \in E$).

Пусть $F$ — замкнутое ограниченное подмножество $\mathbb {R}$ и $g_{1}, g_{2}, \ldots$ — возрастающая последовательность непрерывных вещественнозначных функций на $F$ (то есть $g_{1}(x) \leq g_{2}(x) \leq \cdots$ для всех $x \in F$) такая, что $\sup \left\{ g_{1}(x), g_{2}(x), \ldots \right\} < \infty$ для каждого $x \in F$. Определим вещественнозначную функцию $g$ на $F$ формулой

Докажите, что $g$ непрерывна на $F$ тогда и только тогда, когда $g_{1}, g_{2}, \ldots$ сходится к $g$ равномерно на $F$.

Пусть $\mu$ — мера на $\left(\mathbb {N}, 2^{\mathbb {N}}\right)$, определённая формулой

Докажите, что для каждого $\varepsilon > 0$ существует множество $E \subseteq \mathbb {N}$ с $\mu \left(\mathbb {N} \backslash E\right) < \varepsilon$ такое, что $f_{1}, f_{2}, \ldots$ сходится на $E$ равномерно для любой последовательности функций $f_{1}, f_{2}, \ldots$ из $\mathbb {N}$ в $\mathbb {R}$, сходящейся поточечно на $\mathbb {N}$.

Пусть $F_{1}, \ldots , F_{n}$ — непересекающиеся замкнутые подмножества $\mathbb {R}$. Докажите, что если

— функция такая, что $\left.g\right|_{F_{k}}$ непрерывна для каждого $k \in \left\{ 1, \ldots , n\right\}$, то $g$ непрерывна.

Пусть $F \subseteq \mathbb {R}$ таково, что каждую непрерывную функцию из $F$ в $\mathbb {R}$ можно продолжить до непрерывной функции из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$. Докажите, что $F$ — замкнутое подмножество $\mathbb {R}$.

Докажите утверждение или приведите контрпример: если $F \subseteq \mathbb {R}$ таково, что каждую ограниченную непрерывную функцию из $F$ в $\mathbb {R}$ можно продолжить до непрерывной функции из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$, то $F$ — замкнутое подмножество $\mathbb {R}$.

Приведите пример борелевски измеримой функции $f$ из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$ такой, что не существует множества $B \subseteq \mathbb {R}$, для которого $\left|\mathbb {R} \backslash B\right| = 0$ и $\left.f\right|_{B}$ непрерывна на $B$.

Докажите утверждение или приведите контрпример: если $f_{t}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — борелевски измеримая функция для каждого $t \in \mathbb {R}$ и функция $f: \mathbb {R} \rightarrow (-\infty , \infty ]$ определена формулой

то $f$ борелевски измерима.

Пусть $b_{1}, b_{2}, \ldots$ — последовательность вещественных чисел. Определим $f: \mathbb {R} \rightarrow [0, \infty ]$ формулой

Докажите, что $\left|\left\{ x \in \mathbb {R}: f(x) < 1\right\} \right| = \infty$.

Пусть $B$ — борелевское множество и $f: B \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая по Лебегу функция. Покажите, что существует борелевски измеримая функция $g: B \rightarrow \mathbb {R}$ такая, что