Внешняя мера на $\mathbb{R}$

Докажите, что если $A$ и $B$ — подмножества $\mathbb {R}$ и $\left|B\right| = 0$, то $\left|A \cup B\right| = \left|A\right|$.

Пусть $A \subseteq \mathbb {R}$ и $t \in \mathbb {R}$. Обозначим $t A = \left\{ t a: a \in A\right\}$. Докажите, что $\left|t A\right| = \left|t\right|\left|A\right|$.

Докажите, что если $A, B \subseteq \mathbb {R}$ и $\left|A\right| < \infty$, то $\left|B \backslash A\right| \geq \left|B\right|-\left|A\right|$.

Пусть $F$ — подмножество $\mathbb {R}$, обладающее тем свойством, что каждое открытое покрытие $F$ имеет конечное подпокрытие. Докажите, что $F$ замкнуто и ограничено.

Пусть $\mathcal{A}$ — набор замкнутых подмножеств $\mathbb {R}$ такой, что $\bigcap_{F \in \mathcal{A}} F = \varnothing$. Докажите, что если $\mathcal{A}$ содержит хотя бы одно ограниченное множество, то существуют $n \in \mathbb {N}$ и $F_{1}, \ldots , F_{n} \in \mathcal{A}$ такие, что $F_{1} \cap \cdots \cap F_{n} = \varnothing$.

Докажите, что если $a, b \in \mathbb {R}$ и $a < b$, то

Пусть $a, b, c, d$ — вещественные числа такие, что $a < b$ и $c < d$. Докажите, что

Докажите, что если $A \subseteq \mathbb {R}$ и $t > 0$, то $\left|A\right| = \left|A \cap (-t, t)\right|+\left|A \cap (\mathbb {R} \backslash (-t, t))\right|$.

Докажите, что $\left|A\right| = \lim_{t \rightarrow \infty }\left|A \cap (-t, t)\right|$ для всех $A \subseteq \mathbb {R}$.

Докажите, что $\left|[0,1] \backslash \mathbb {Q}\right| = 1$.

Докажите, что если $I_{1}, I_{2}, \ldots$ — последовательность попарно непересекающихся интервалов, то

Пусть $r_{1}, r_{2}, \ldots$ — последовательность, содержащая каждое рациональное число. Обозначим

Пусть $\varepsilon > 0$. Докажите, что существует подмножество $F$ отрезка $[0,1]$ такое, что $F$ замкнуто, каждый элемент $F$ является иррациональным числом, и $\left|F\right| > 1-\varepsilon$.

Рассмотрим следующий рисунок, выполненный точно в масштабе.