Меры и их свойства

Объясните, почему не существует пространства с мерой $(X, \mathcal{S}, \mu )$ такого, что $\left\{ \mu (E): E \in \mathcal{S}\right\} = [0,1)$.

Через $2^{\mathbb {N}}$ обозначим $\sigma$-алгебру на $\mathbb {N}$, состоящую из всех подмножеств $\mathbb {N}$. Пусть $\mu$ — мера на $\left(\mathbb {N}, 2^{\mathbb {N}}\right)$. Докажите, что существует последовательность $w_{1}, w_{2}, \ldots$ в $[0, \infty ]$ такая, что

для каждого множества $E \subseteq \mathbb {N}$.

Приведите пример меры $\mu$ на $\left(\mathbb {N}, 2^{\mathbb {N}}\right)$ такой, что

Приведите пример пространства с мерой $(X, \mathcal{S}, \mu )$ такого, что

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой такое, что $\mu (X) < \infty$. Докажите, что если $\mathcal{A}$ — семейство непересекающихся множеств из $\mathcal{S}$ таких, что $\mu (A) > 0$ для каждого $A \in \mathcal{A}$, то $\mathcal{A}$ — счётное множество.

Найдите все $c \in [3, \infty )$, для которых существует пространство с мерой $(X, \mathcal{S}, \mu )$ такое, что

Приведите пример пространства с мерой $(X, \mathcal{S}, \mu )$ такого, что

Приведите пример множества $X$, $\sigma$-алгебры $\mathcal{S}$ подмножеств $X$, семейства $\mathcal{A}$ подмножеств $X$ такого, что наименьшая $\sigma$-алгебра на $X$, содержащая $\mathcal{A}$, есть $\mathcal{S}$, и двух мер $\mu$ и $\nu$ на $(X, \mathcal{S})$ таких, что $\mu (A) = \nu (A)$ для всех $A \in \mathcal{A}$ и $\mu (X) = \nu (X) < \infty$, но $\mu \neq \nu$.

Пусть $\mu$ и $\nu$ — меры на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$. Докажите, что $\mu +\nu$ — мера на $(X, \mathcal{S})$.

Приведите пример пространства с мерой $(X, \mathcal{S}, \mu )$ и убывающей последовательности $E_{1} \supseteq E_{2} \supseteq \cdots$ множеств из $\mathcal{S}$ такой, что

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой и $C, D, E \in \mathcal{S}$ таковы, что

Найдите и докажите формулу для $\mu (C \cup D \cup E)$ через $\mu (C), \mu (D), \mu (E)$, $\mu (C \cap D), \mu (C \cap E), \mu (D \cap E)$ и $\mu (C \cap D \cap E)$.

Пусть $X$ — множество и $\mathcal{S}$ — $\sigma$-алгебра всех подмножеств $E$ множества $X$ таких, что $E$ счётно или $X \backslash E$ счётно. Дайте полное описание множества всех мер на $(X, \mathcal{S})$.