Банк задач по математике

Задача 2D.1

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что множество, состоящее из тех чисел в $(0,1)$ , десятичное разложение которых содержит сто идущих подряд четвёрок, является борелевским подмножеством $\mathbb {R}$ .

(b)

Чему равна мера Лебега множества из пункта (a)?

Задача 2D.2

Докажите, что существует ограниченное множество $A \subseteq \mathbb {R}$ такое, что $\left|F\right| \leq \left|A\right|-1$ для каждого замкнутого множества $F \subseteq A$ .

?

Задача 2D.3

Докажите, что существует множество $A \subseteq \mathbb {R}$ такое, что $\left|G \backslash A\right| = \infty$ для каждого открытого множества $G$ , содержащего $A$ .

?

Задача 2D.4

(a)(b)(c)

Термин нетривиальный промежуток используется для обозначения промежутка в $\mathbb {R}$ , содержащего более одного элемента. Напомним, что промежуток может быть открытым, замкнутым или ни тем, ни другим.

?

(a)

Докажите, что объединение любого семейства нетривиальных промежутков в $\mathbb {R}$ является объединением некоторого счётного подсемейства этого семейства.

(b)

Докажите, что объединение любого семейства нетривиальных промежутков в $\mathbb {R}$ является борелевским множеством.

(c)

Докажите, что существует семейство замкнутых промежутков в $\mathbb {R}$ , объединение которых не является борелевским множеством.

Задача 2D.5

Докажите, что если $A \subseteq \mathbb {R}$ измеримо по Лебегу, то существует возрастающая последовательность $F_{1} \subseteq F_{2} \subseteq \cdots$ замкнутых множеств, содержащихся в $A$ , такая, что

\left|A \backslash \bigcup _{k = 1}^{\infty } F_{k}\right| = 0

?

Задача 2D.6

Пусть $A \subseteq \mathbb {R}$ и $\left|A\right| < \infty$ . Докажите, что $A$ измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда для каждого $\varepsilon > 0$ существует множество $G$ , являющееся объединением конечного числа непересекающихся ограниченных интервалов, такое, что $\left|A \backslash G\right|+\left|G \backslash A\right| < \varepsilon$ .

?

Задача 2D.7

Докажите, что если $A \subseteq \mathbb {R}$ измеримо по Лебегу, то существует убывающая последовательность $G_{1} \supseteq G_{2} \supseteq \cdots$ открытых множеств, содержащих $A$ , такая, что

\left|\left(\bigcap _{k = 1}^{\infty } G_{k}\right) \backslash A\right| = 0

?

Задача 2D.8

Докажите, что совокупность измеримых по Лебегу подмножеств $\mathbb {R}$ инвариантна относительно сдвигов. Точнее, докажите, что если $A \subseteq \mathbb {R}$ измеримо по Лебегу и $t \in \mathbb {R}$ , то $t+A$ измеримо по Лебегу.

?

Задача 2D.9

Докажите, что совокупность измеримых по Лебегу подмножеств $\mathbb {R}$ инвариантна относительно растяжений. Точнее, докажите, что если $A \subseteq \mathbb {R}$ измеримо по Лебегу и $t \in \mathbb {R}$ , то $t A$ (определённое как $\left\{ t a: a \in A\right\}$ ) измеримо по Лебегу.

?

Задача 2D.10

Докажите, что если $A$ и $B$ — непересекающиеся подмножества $\mathbb {R}$ и $B$ измеримо по Лебегу, то $\left|A \cup B\right| = \left|A\right|+\left|B\right|$ .

?

Задача 2D.11

Докажите, что если $A \subseteq \mathbb {R}$ и $\left|A\right| > 0$ , то существует подмножество $A$ , не измеримое по Лебегу.

?

Задача 2D.12

Пусть $b < c$ и $A \subseteq (b, c)$ . Докажите, что $A$ измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда $\left|A\right|+\left|(b, c) \backslash A\right| = c-b$ .

?

Задача 2D.13

Пусть $A \subseteq \mathbb {R}$ . Докажите, что $A$ измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда

\left|(-n, n) \cap A\right|+\left|(-n, n) \backslash A\right| = 2 n

для каждого $n \in \mathbb {N}$ .

?

Задача 2D.14

Покажите, что $\frac{1}{4}$ и $\frac{9}{13}$ оба принадлежат канторову множеству.

?

Задача 2D.15

Покажите, что $\frac{13}{17}$ не принадлежит канторову множеству.

?

Задача 2D.16

Перечислите восемь открытых интервалов, объединение которых составляет $G_{4}$ в определении канторова множества (2.74).

?

Задача 2D.17

Пусть $C$ обозначает канторово множество. Докажите, что $\left\{ \frac{1}{2} x+\frac{1}{2} y: x, y \in C\right\} = [0,1]$ .

?

Задача 2D.18

Докажите, что каждый интервал в $\mathbb {R}$ содержит либо бесконечно много элементов канторова множества, либо ни одного.

?

Задача 2D.19

Вычислите $\int_{0}^{1} \Lambda$ , где $\Lambda$ — функция Кантора.

?

Задача 2D.20

(a)(b)

Вычислите каждое из следующих значений:

?

(a)

$\Lambda \left(\frac{9}{13}\right)$ ;

(b)

$\Lambda (0.93)$ .

Задача 2D.21

(a)(b)

Найдите каждое из следующих множеств:

?

(a)

$\Lambda^{-1}\left(\left\{ \frac{1}{3}\right\} \right)$ ;

(b)

$\Lambda^{-1}\left(\left\{ \frac{5}{16}\right\} \right)$ .

Задача 2D.22

(a)(b)

?

(a)

Пусть $x$ — рациональное число в $[0,1]$ . Объясните, почему $\Lambda (x)$ рационально.

(b)

Пусть $x \in C$ таково, что $\Lambda (x)$ рационально. Объясните, почему $x$ рационально.

Задача 2D.23

Покажите, что существует функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ такая, что образ каждого непустого открытого интервала при отображении $f$ равен $\mathbb {R}$ .

?

Задача 2D.24

(a)(b)

Для $A \subseteq \mathbb {R}$ величина

\sup \left\{ \left|F\right|: F \text{ — замкнутое ограниченное подмножество } \mathbb {R} \text{ и } F \subseteq A\right\}

называется внутренней мерой множества $A$ .

?

(a)

Покажите, что если $A$ — измеримое по Лебегу подмножество $\mathbb {R}$ , то внутренняя мера $A$ равна внешней мере $A$ .

(b)

Покажите, что внутренняя мера не является мерой на $\sigma$ -алгебре всех подмножеств $\mathbb {R}$ .

Мера Лебега