Векторные пространства

Привести пример, подтверждающий, что для трех подпространств теорема (о равносильности линейной независимости подпространств $U_1, \ldots , U_k$, объединения базисов подпространств и равенства $\dim (U_1+\ldots +U_k)=\dim U_1+\ldots +\dim U_k$), верная для пары подпространств, неверна.

Привести пример трех линейно зависимых подпространств, все попарные пересечения которых равны нулю.

Пусть $A = L_n(K)$ --- алгебра матриц. Обозначим через $A_d$ линейную оболочку матричных единиц $E_{ij}$ с $j-i=d$. Доказать, что подпространства $A_d$ задают градуировку алгебры $A$. (Здесь $A_d = 0$ при $|d| \geq n$.)

Пусть $X$ --- множество ребер тетраэдра, $Y$ --- множество его граней, и пусть $\varphi : F(X,K) \to F(Y,K)$ --- линейное отображение, определяемое формулой

т.е. значение функции $g$ на какой-либо грани равно сумме значений функции $f$ на сторонах этой грани. Найти $\dim \operatorname {Ker} \varphi$ в случае, когда $\operatorname {char} K = 2$.

Используя линейные отображения, доказать, что ранг произведения двух матриц (не обязательно квадратных) не превосходит ранга каждой из них (теорема 2.3.5), а если одна из этих матриц невырожденна, то ранг произведения равен рангу другой матрицы.

Показать, что линейные функции $\varepsilon_1, \ldots , \varepsilon_n$ (где $n = \dim V$) составляют базис пространства $V^*$ тогда и только тогда, когда не существует ненулевого вектора $x \in V$, для которого $\varepsilon_1(x) = \ldots = \varepsilon_n(x) = 0$.

Пусть $V$ --- пространство многочленов степени ${}\leq n$ над полем $K$. Показать, что линейные функции $\varepsilon_0, \varepsilon_1, \ldots , \varepsilon_n$, определяемые равенствами

где $x_0, x_1, \ldots , x_n$ --- различные элементы поля $K$, составляют базис пространства $V^*$, и найти сопряженный базис пространства $V$. Показать, что формула (двойственного базиса через $\varepsilon_i$) в этом случае превращается в интерполяционную формулу Лагранжа.

Пусть $V$ то же, что и в задаче 5.3.2, причем $\operatorname {char} K = 0$. Показать, что линейные функции $\varepsilon_0, \varepsilon_1, \ldots , \varepsilon_n$, определяемые равенствами

где $x_0 \in K$, составляют базис пространства $V^*$, и найти сопряженный базис пространства $V$. Показать, что формула из задачи 5.3.2 в этом случае превращается в формулу Тейлора.

Доказать невырожденность билинейных функций

Найти сигнатуру симметрической билинейной функции $\alpha (X,Y) = \operatorname {tr} XY$ на пространстве $L_n(K)$ (в случае $K = \mathbb {R}$).

Доказать, что произвольная (не обязательно невырожденная) квадратичная функция $q$ над $\mathbb {Z}_p$ может быть приведена ровно к одному из двух видов

где $r = \operatorname {rk} q$.

Получить соотношение между двугранными углами тетраэдра, рассмотрев матрицу Грама системы единичных векторов, перпендикулярных его граням и направленных во внешнюю сторону.

Применяя процесс ортогонализации к столбцам матрицы, доказать, что каждая матрица $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb {R})$ может быть единственным образом представлена в виде $A = OB$, где $O$ --- ортогональная матрица, а $B$ --- треугольная матрица с положительными элементами на диагонали.

Записать условие унитарности матрицы через матричные элементы двумя способами.