Подпространства

Привести пример, подтверждающий, что для трех подпространств теорема (о равносильности линейной независимости подпространств $U_1, \ldots , U_k$, объединения базисов подпространств и равенства $\dim (U_1+\ldots +U_k)=\dim U_1+\ldots +\dim U_k$), верная для пары подпространств, неверна.

Привести пример трех линейно зависимых подпространств, все попарные пересечения которых равны нулю.

Пусть $A = L_n(K)$ --- алгебра матриц. Обозначим через $A_d$ линейную оболочку матричных единиц $E_{ij}$ с $j-i=d$. Доказать, что подпространства $A_d$ задают градуировку алгебры $A$. (Здесь $A_d = 0$ при $|d| \geq n$.)