Линейные отображения

Пусть $X$ --- множество ребер тетраэдра, $Y$ --- множество его граней, и пусть $\varphi : F(X,K) \to F(Y,K)$ --- линейное отображение, определяемое формулой

т.е. значение функции $g$ на какой-либо грани равно сумме значений функции $f$ на сторонах этой грани. Найти $\dim \operatorname {Ker} \varphi$ в случае, когда $\operatorname {char} K = 2$.

Используя линейные отображения, доказать, что ранг произведения двух матриц (не обязательно квадратных) не превосходит ранга каждой из них (теорема 2.3.5), а если одна из этих матриц невырожденна, то ранг произведения равен рангу другой матрицы.