Банк задач по математике

Задача 5.4.1

(1)(2)

Доказать невырожденность билинейных функций

?

(1)

$\alpha (X,Y) = \operatorname {tr} XY$ на пространстве $L_n(K)$ ;

(2)

определитель матрицы второго порядка как функция ее строк, на пространстве $K^2$ .

Задача 5.4.2

Найти сигнатуру симметрической билинейной функции $\alpha (X,Y) = \operatorname {tr} XY$ на пространстве $L_n(K)$ (в случае $K = \mathbb {R}$ ).

?

Задача 5.4.3

Доказать, что произвольная (не обязательно невырожденная) квадратичная функция $q$ над $\mathbb {Z}_p$ может быть приведена ровно к одному из двух видов

x_1^2+\ldots +x_{r-1}^2+x_r^2, \qquad x_1^2+\ldots +x_{r-1}^2+\varepsilon x_r^2,

где $r = \operatorname {rk} q$ .

?

Билинейные и квадратичные функции