Сопряженное пространство

Показать, что линейные функции $\varepsilon_1, \ldots , \varepsilon_n$ (где $n = \dim V$) составляют базис пространства $V^*$ тогда и только тогда, когда не существует ненулевого вектора $x \in V$, для которого $\varepsilon_1(x) = \ldots = \varepsilon_n(x) = 0$.

Пусть $V$ --- пространство многочленов степени ${}\leq n$ над полем $K$. Показать, что линейные функции $\varepsilon_0, \varepsilon_1, \ldots , \varepsilon_n$, определяемые равенствами

где $x_0, x_1, \ldots , x_n$ --- различные элементы поля $K$, составляют базис пространства $V^*$, и найти сопряженный базис пространства $V$. Показать, что формула (двойственного базиса через $\varepsilon_i$) в этом случае превращается в интерполяционную формулу Лагранжа.

Пусть $V$ то же, что и в задаче 5.3.2, причем $\operatorname {char} K = 0$. Показать, что линейные функции $\varepsilon_0, \varepsilon_1, \ldots , \varepsilon_n$, определяемые равенствами

где $x_0 \in K$, составляют базис пространства $V^*$, и найти сопряженный базис пространства $V$. Показать, что формула из задачи 5.3.2 в этом случае превращается в формулу Тейлора.