Начала теории групп

Доказать, что множество всех возрастающих непрерывных функций на отрезке $[0,1]$, удовлетворяющих условиям $f(0)=0$, $f(1)=1$, является группой преобразований отрезка $[0,1]$.

Доказать, что множество $G = \{ А, Б, В, Г, Д, Е\}$ с операцией, заданной таблицей

является группой, изоморфной $S_3$.

Доказать, что если в множестве $G$ с ассоциативной операцией существует такой элемент $e$ (правая единица), что $ae=a$ для любого $a \in G$, и для любого $a \in G$ существует такой элемент $a^{-1}$ (правый обратный элемент), что $aa^{-1}=e$, то $G$ --- группа.

Доказать, что множество строго треугольных квадратных матриц порядка $n$ является подгруппой группы $\mathrm{GL}_n(K)$.

Доказать, что в аффинной геометрии все треугольники равны.

Доказать, что при аффинных преобразованиях сохраняется отношение, в котором точка делит отрезок.

Доказать, что порядок любого элемента группы $S_n$ не превосходит числа $e^{n/e} \approx 1{,}44^n$.

Доказать, что $\operatorname {arctg}\frac34$ несоизмерим с $\pi$.

Доказать, что группа $\mathbb {Z}_n^*$ обратимых элементов кольца $\mathbb {Z}_n$ (см. задачу 1.5.1) является циклической при $n \leq 7$ и $n = 9$ и не является циклической при $n = 8$.

Доказать, что группа $S_n$ порождается смежными транспозициями $(12), (23), \ldots , (n-1\ n)$, причем минимальное число смежных транспозиций, в произведение которых может быть разложена подстановка $\sigma \in S_n$, равно числу инверсий в нижней строке ее стандартной записи.

Доказать, что группа $\mathrm{SL}_2(\mathbb {Z})$ (см. пример 1.13) порождается матрицами

Доказать, что группа движений плоскости порождается отражениями относительно прямых.

Доказать, что

Получить результат $|\mathrm{Sym}\, K| = 48$ (порядок группы симметрий куба $K$) еще двумя способами, рассмотрев группу $\mathrm{Sym}\, K$ как группу преобразований множества граней и множества ребер куба соответственно.

Доказать, что всякое отношение эквивалентности в группе, согласованное с операцией, есть отношение сравнимости по модулю некоторой (нормальной) подгруппы.

Доказать, что всякая факторгруппа циклической группы является циклической.

Доказать, что группа диагональных матриц не является нормальной подгруппой группы $\mathrm{GL}_n(K)$ при $n \geq 2$ и $|K| \geq 3$.

Вывести следующую формулу для знака циклической подстановки:

Используя это, доказать, что знак любой подстановки равен $(-1)^{m-s}$, где $m$ --- число фактически переставляемых ею (т.е. не оставляемых на месте) символов, а $s$ --- число независимых циклов, в произведение которых она разлагается.

Доказать, что для любого $n \in \mathbb {N}$ имеет место следующий «парадоксальный» изоморфизм:

Пусть $p$ --- простое число. Найти порядки групп $\mathrm{GL}_2(\mathbb {Z}_p)$ и $\mathrm{SL}_2(\mathbb {Z}_p)$.

Доказать, что группа $D_4$ (группа симметрии квадрата) изоморфна группе $\mathrm{Sym}(x_1x_2+x_3x_4)$ (см. примеры 1.8 и 5.11).

Доказать, что $\mathrm{SL}_2(\mathbb {Z}_2) \simeq S_3$.