Определение и примеры

Доказать, что множество всех возрастающих непрерывных функций на отрезке $[0,1]$, удовлетворяющих условиям $f(0)=0$, $f(1)=1$, является группой преобразований отрезка $[0,1]$.

Доказать, что множество $G = \{ А, Б, В, Г, Д, Е\}$ с операцией, заданной таблицей

является группой, изоморфной $S_3$.

Доказать, что если в множестве $G$ с ассоциативной операцией существует такой элемент $e$ (правая единица), что $ae=a$ для любого $a \in G$, и для любого $a \in G$ существует такой элемент $a^{-1}$ (правый обратный элемент), что $aa^{-1}=e$, то $G$ --- группа.

Доказать, что множество строго треугольных квадратных матриц порядка $n$ является подгруппой группы $\mathrm{GL}_n(K)$.