Гомоморфизмы

Вывести следующую формулу для знака циклической подстановки:

Используя это, доказать, что знак любой подстановки равен $(-1)^{m-s}$, где $m$ --- число фактически переставляемых ею (т.е. не оставляемых на месте) символов, а $s$ --- число независимых циклов, в произведение которых она разлагается.

Доказать, что для любого $n \in \mathbb {N}$ имеет место следующий «парадоксальный» изоморфизм:

Пусть $p$ --- простое число. Найти порядки групп $\mathrm{GL}_2(\mathbb {Z}_p)$ и $\mathrm{SL}_2(\mathbb {Z}_p)$.

Доказать, что группа $D_4$ (группа симметрии квадрата) изоморфна группе $\mathrm{Sym}(x_1x_2+x_3x_4)$ (см. примеры 1.8 и 5.11).

Доказать, что $\mathrm{SL}_2(\mathbb {Z}_2) \simeq S_3$.