Глава 12

Группы Ли

[20/15%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

12.1 · Определение и простейшие свойства групп Ли[4/0%]

Задача 12.1.1

Если $G$ --- линейная группа Ли, то $T_g(G) = T_e(G)g$ для любой матрицы $g \in G$ . Доказать это.

Задача 12.1.2

Доказать, что псевдоортогональная группа $\mathrm{O}_{k,l}$ , где $k+l=n$ (см. §7.4), также является $\frac{n(n-1)}2$ -мерной группой Ли.

Задача 12.1.3

При четном $n=2m$ рассмотрим группу линейных преобразований пространства $K^n$ , сохраняющих невырожденную кососимметрическую билинейную функцию

\alpha (x,y) = \sum _{i=1}^m (x_iy_{m+i}-x_{m+i}y_i).

Она называется симплектической группой и обозначается через $\mathrm{Sp}_n(K)$ . Доказать, что $\mathrm{Sp}_n(K)$ есть $\frac{n(n+1)}2$ -мерная группа Ли.

Задача 12.1.4

Доказать, что группа $\mathrm{SO}_{n,1}$ состоит из двух связных компонент, причем $\mathrm{SO}_{n,1}^\circ$ есть подгруппа, образованная теми преобразованиями, которые оставляют на месте каждую из двух связных компонент гиперболоида

x_1^2+\ldots +x_n^2-x_{n+1}^2 = -1.

Примечание.

Доказать, что всякое преобразование из группы $\mathrm{SO}_{n,1}$ , оставляющее на месте каждую связную компоненту указанного гиперболоида, есть произведение гиперболического поворота в двумерном подпространстве, содержащем базисный вектор $e_{n+1}$ , и преобразования из группы $\mathrm{SO}_n$ (оставляющего на месте вектор $e_{n+1}$ ).

12.2 · Экспоненциальное отображение[2/0%]

Задача 12.2.1

Доказать, что ядро $\operatorname {Ker} f$ гомоморфизма групп Ли $f: G \to H$ есть группа Ли, касательное пространство которой совпадает с $\operatorname {Ker} df$ .

Задача 12.2.2

В тех же обозначениях (гомоморфизм групп Ли $f: G \to H$ ) доказать, что если $\operatorname {Im} df = T(H)$ и группа $H$ связна, то $\operatorname {Im} f = H$ .

12.3 · Касательная алгебра Ли и присоединенное представление[7/14%]

Задача 12.3.1

Доказать, что если $f: G \to H$ --- гомоморфизм групп Ли, то

f(\mathrm{Ad}(g)X) = \mathrm{Ad}(f(g))df(X) \qquad (g \in G, X \in T(G)).

Задача 12.3.2

Доказать, что ядро присоединенного представления связной группы Ли --- это ее центр.

Задача 12.3.3

Выписать матрицы присоединенных операторов векторов ортонормированного базиса пространства $\mathbb {E}^3$ (с операцией векторного умножения $\times$ ) в этом же базисе.

Задача 12.3.4

Доказать, что для любых матриц $A,X \in L_n(K)$ справедливо равенство

(\exp A)X(\exp A)^{-1} = \sum _{k=0}^\infty \frac1{k!}[\underbrace{A,[A,\ldots ,[A}_{k},X]\ldots ]].

Задача 12.3.5

Центром алгебры Ли $L$ называется подалгебра $Z(L) = \{ z \in L: [z,u]=0\ \forall u \in L\}$ . Доказать, что центр связной группы Ли $G$ есть группа Ли, касательная алгебра которой совпадает с центром алгебры Ли $T(G)$ .

Примечание.

Воспользоваться задачами 12.3.1 и 12.2.1.

Задача 12.3.6

Рассуждая аналогично примеру о присоединенном представлении группы $\mathrm{SU}_2$ (осуществляющем гомоморфизм на группу $\mathrm{SO}_3$ с ядром $\{ \pm E\}$ ), доказать, что присоединенное представление осуществляет гомоморфизм группы $\mathrm{SL}_2(\mathbb {R})$ на связную компоненту группы $\mathrm{SO}_{2,1}$ (см. задачу 12.1.2) с ядром $\{ \pm E\}$ .

Задача 12.3.7

Доказать, что присоединенное представление осуществляет гомоморфизм группы $\mathrm{SL}_2(\mathbb {C})$ на группу $\mathrm{SO}_3(\mathbb {C})$ с ядром $\{ \pm E\}$ .

12.4 · Линейные представления групп Ли[7/29%]

Задача 12.4.1

(1)(2)(3)

Пусть $G$ --- связная группа Ли и $H$ --- ее связная подгруппа Ли. Доказать эквивалентность следующих условий:

(1)

$H$ --- нормальная подгруппа группы $G$ ;

(2)

подпространство $T(H)$ инвариантно относительно присоединенного представления группы $G$ ;

(3)

$T(H)$ --- идеал алгебры $T(G)$ .

Задача 12.4.2

Доказать, что если касательная алгебра связной группы Ли $G$ проста, то и группа $G$ проста (как группа Ли). (На самом деле верно и обратное.)

Задача 12.4.3

Доказать, что группа Ли $\mathrm{SO}_3$ проста. (На самом деле группа $\mathrm{SO}_3$ не имеет никаких нетривиальных нормальных подгрупп. См. §10.5.)

Задача 12.4.4

Доказать, что группа Ли $\mathrm{SL}_n(K)$ проста при любом $n \geq 2$ .

Задача 12.4.5

Доказать, что при $n>0$

\operatorname {Ker} R_n = \begin{cases} \{ E\} , & \text{если } n \text{ нечетно}, \\ \{ \pm E\} , & \text{если } n \text{ четно}, \end{cases}

где $R_n$ --- неприводимое представление алгебры Ли $\mathfrak {sl}_2(\mathbb {C})$ (продолженное до представления группы $\mathrm{SL}_2(\mathbb {C})$ ) со старшим весом $n$ .

Задача 12.4.6

Описать неприводимые линейные представления группы Ли $\mathrm{SO}_3(\mathbb {C})$ .

Задача 12.4.7

Описать неприводимые комплексные линейные представления групп Ли $\mathrm{SO}_3$ и $\mathrm{SO}_{2,1}^\circ$ .