Линейные представления групп Ли

Пусть $G$ --- связная группа Ли и $H$ --- ее связная подгруппа Ли. Доказать эквивалентность следующих условий:

Доказать, что если касательная алгебра связной группы Ли $G$ проста, то и группа $G$ проста (как группа Ли). (На самом деле верно и обратное.)

Доказать, что группа Ли $\mathrm{SO}_3$ проста. (На самом деле группа $\mathrm{SO}_3$ не имеет никаких нетривиальных нормальных подгрупп. См. §10.5.)

Доказать, что группа Ли $\mathrm{SL}_n(K)$ проста при любом $n \geq 2$.

Доказать, что при $n>0$

где $R_n$ --- неприводимое представление алгебры Ли $\mathfrak {sl}_2(\mathbb {C})$ (продолженное до представления группы $\mathrm{SL}_2(\mathbb {C})$) со старшим весом $n$.

Описать неприводимые линейные представления группы Ли $\mathrm{SO}_3(\mathbb {C})$.

Описать неприводимые комплексные линейные представления групп Ли $\mathrm{SO}_3$ и $\mathrm{SO}_{2,1}^\circ$.