Банк задач по математике

Задача 12.1.1

Если $G$ --- линейная группа Ли, то $T_g(G) = T_e(G)g$ для любой матрицы $g \in G$ . Доказать это.

?

Задача 12.1.2

Доказать, что псевдоортогональная группа $\mathrm{O}_{k,l}$ , где $k+l=n$ (см. §7.4), также является $\frac{n(n-1)}2$ -мерной группой Ли.

?

Задача 12.1.3

При четном $n=2m$ рассмотрим группу линейных преобразований пространства $K^n$ , сохраняющих невырожденную кососимметрическую билинейную функцию

\alpha (x,y) = \sum _{i=1}^m (x_iy_{m+i}-x_{m+i}y_i).

Она называется симплектической группой и обозначается через $\mathrm{Sp}_n(K)$ . Доказать, что $\mathrm{Sp}_n(K)$ есть $\frac{n(n+1)}2$ -мерная группа Ли.

?

Задача 12.1.4

Доказать, что группа $\mathrm{SO}_{n,1}$ состоит из двух связных компонент, причем $\mathrm{SO}_{n,1}^\circ$ есть подгруппа, образованная теми преобразованиями, которые оставляют на месте каждую из двух связных компонент гиперболоида

x_1^2+\ldots +x_n^2-x_{n+1}^2 = -1.

?

Примечание.

?

Доказать, что всякое преобразование из группы $\mathrm{SO}_{n,1}$ , оставляющее на месте каждую связную компоненту указанного гиперболоида, есть произведение гиперболического поворота в двумерном подпространстве, содержащем базисный вектор $e_{n+1}$ , и преобразования из группы $\mathrm{SO}_n$ (оставляющего на месте вектор $e_{n+1}$ ).

Определение и простейшие свойства групп Ли