Касательная алгебра Ли и присоединенное представление

Доказать, что если $f: G \to H$ --- гомоморфизм групп Ли, то

Доказать, что ядро присоединенного представления связной группы Ли --- это ее центр.

Выписать матрицы присоединенных операторов векторов ортонормированного базиса пространства $\mathbb {E}^3$ (с операцией векторного умножения $\times$) в этом же базисе.

Доказать, что для любых матриц $A,X \in L_n(K)$ справедливо равенство

Центром алгебры Ли $L$ называется подалгебра $Z(L) = \{ z \in L: [z,u]=0\ \forall u \in L\}$. Доказать, что центр связной группы Ли $G$ есть группа Ли, касательная алгебра которой совпадает с центром алгебры Ли $T(G)$.

Рассуждая аналогично примеру о присоединенном представлении группы $\mathrm{SU}_2$ (осуществляющем гомоморфизм на группу $\mathrm{SO}_3$ с ядром $\{ \pm E\}$), доказать, что присоединенное представление осуществляет гомоморфизм группы $\mathrm{SL}_2(\mathbb {R})$ на связную компоненту группы $\mathrm{SO}_{2,1}$ (см. задачу 12.1.2) с ядром $\{ \pm E\}$.

Доказать, что присоединенное представление осуществляет гомоморфизм группы $\mathrm{SL}_2(\mathbb {C})$ на группу $\mathrm{SO}_3(\mathbb {C})$ с ядром $\{ \pm E\}$.