Алгебраические структуры

Доказать, что всякая подгруппа группы $\mathbb {Z}$ имеет вид $n\mathbb {Z}$, где $n \in \mathbb {Z}_+$ (решение этой задачи можно найти в §1.4).

Пусть $X$ --- какое-либо множество и $2^X$ --- множество всех его подмножеств. Доказать, что $2^X$ --- кольцо относительно операций симметрической разности

и пересечения, взятых в качестве сложения и умножения соответственно. Доказать, что это кольцо коммутативно, ассоциативно и обладает единицей.

Доказать, что существует поле, состоящее из двух элементов. (Очевидно, что один из этих элементов должен быть нулем поля, а другой --- его единицей.)

Доказать, что все конечные подмножества множества $X$ образуют подкольцо кольца $2^X$ из задачи 1.3.1.

Доказать, что подмножество $L$ поля $K$ является подполем тогда и только тогда, когда

Доказать, что поле $\mathbb {Q}$ не имеет нетривиальных (т.е. отличных от него самого) подполей.

Доказать, что при любом $n$ элемент $[k]_n$ обратим в кольце $\mathbb {Z}_n$ тогда и только тогда, когда $n$ и $k$ взаимно просты.

Вывести отсюда, что в поле $\mathbb {Z}_p$ справедливо тождество $a^p = a$. (Другое доказательство последнего факта, называемого малой теоремой Ферма, будет дано в §4.5.)

Доказать, что кольцо $2^X$ из задачи 1.3.1 превращается в алгебру над полем $\mathbb {Z}_2$, если определить в нем умножение на элементы этого поля по правилам

Доказать, что двумерная алгебра над полем $\mathbb {Z}_2$ с базисом $\{ 1, \alpha \}$ и таблицей умножения

является полем (из 4 элементов).

Матрица $E_{ij}$, у которой на $(i,j)$-м месте стоит 1, а на остальных местах --- нули, называется матричной единицей (не путать с единичной матрицей!). Матричные единицы $E_{ij}$ $(i, j = 1, \ldots , n)$ образуют базис векторного пространства $L_n(K)$. Выписать таблицу умножения алгебры $L_n(K)$ в этом базисе.

Матрицы вида $\lambda E$ ($\lambda \in K$) называются скалярными. Очевидно, что всякая скалярная матрица перестановочна со всеми квадратными матрицами того же порядка. Доказать обратное: всякая квадратная матрица, перестановочная со всеми квадратными матрицами того же порядка, скалярна.

Доказать, что в алгебре $L_2(\mathbb {R})$ матрицы вида

образуют подалгебру, изоморфную алгебре комплексных чисел.

Доказать, что в алгебре $L_2(\mathbb {C})$, рассматриваемой как алгебра над $\mathbb {R}$, матрицы вида

образуют подалгебру, изоморфную алгебре кватернионов (см. пример 1.7.6).