Кольца вычетов

Доказать, что при любом $n$ элемент $[k]_n$ обратим в кольце $\mathbb {Z}_n$ тогда и только тогда, когда $n$ и $k$ взаимно просты.

Вывести отсюда, что в поле $\mathbb {Z}_p$ справедливо тождество $a^p = a$. (Другое доказательство последнего факта, называемого малой теоремой Ферма, будет дано в §4.5.)