Алгебра матриц

Матрица $E_{ij}$, у которой на $(i,j)$-м месте стоит 1, а на остальных местах --- нули, называется матричной единицей (не путать с единичной матрицей!). Матричные единицы $E_{ij}$ $(i, j = 1, \ldots , n)$ образуют базис векторного пространства $L_n(K)$. Выписать таблицу умножения алгебры $L_n(K)$ в этом базисе.

Матрицы вида $\lambda E$ ($\lambda \in K$) называются скалярными. Очевидно, что всякая скалярная матрица перестановочна со всеми квадратными матрицами того же порядка. Доказать обратное: всякая квадратная матрица, перестановочная со всеми квадратными матрицами того же порядка, скалярна.

Доказать, что в алгебре $L_2(\mathbb {R})$ матрицы вида

образуют подалгебру, изоморфную алгебре комплексных чисел.

Доказать, что в алгебре $L_2(\mathbb {C})$, рассматриваемой как алгебра над $\mathbb {R}$, матрицы вида

образуют подалгебру, изоморфную алгебре кватернионов (см. пример 1.7.6).