ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ С МЕРОЙ

Лемма отождествления: Пусть $\left\{ D_{p}\right\}_{p \in P}$ обозначает дизъюнктное семейство непустых подмножеств $I$ с $\bigcup_{p \in P} D_{p}=I$. Определим $\Phi : \Omega \rightarrow \underset {p \in P}{\times } \Omega_{D_{p}}$ для каждого $\omega =(\omega_{i})_{i \in I} \in \Omega$ по правилу $\Phi (\omega )=\left((\omega_{i})_{i \in D_{p}}\right)_{p \in P}$. Тогда: (a) $\Phi$ инъективно и сюръективно отображает на $\underset {p \in P}{\times } \Omega_{D_{p}}$. Пусть $\mathcal{F}^{*}$ обозначает $\sigma$-поле подмножеств $\underset {p \in P}{\times } \Omega_{D_{p}}$, порождённое множествами вида $\underset {p \in P}{\times } A_{D_{p}}$, где $A_{D_{p}} \in \mathcal{F}_{D_{p}}$ для каждого $p \in P$ и $A_{D_{p}} \neq \Omega_{D_{p}}$ не более чем для конечного числа $p \in P$. (b) Для каждого множества в $\mathcal{F}$ существует единственное соответствующее множество в $\mathcal{F}^{*}$, и наоборот; т.е. $\Phi$ устанавливает взаимно однозначное соответствие между $\mathcal{F}$ и $\mathcal{F}^{*}$.

Лемма отождествления: Пусть $\left\{ D_{p}\right\}_{p \in P}$ обозначает дизъюнктное семейство непустых подмножеств $I$ с $\bigcup_{p \in P} D_{p}=I$. Определим $\Phi : \Omega \rightarrow \underset {p \in P}{\times } \Omega_{D_{p}}$ для каждого $\omega =(\omega_{i})_{i \in I} \in \Omega$ по правилу $\Phi (\omega )=\left((\omega_{i})_{i \in D_{p}}\right)_{p \in P}$. Тогда: (a) $\Phi$ инъективно и сюръективно отображает на $\underset {p \in P}{\times } \Omega_{D_{p}}$. Пусть $\mathcal{F}^{*}$ обозначает $\sigma$-поле подмножеств $\underset {p \in P}{\times } \Omega_{D_{p}}$, порождённое множествами вида $\underset {p \in P}{\times } A_{D_{p}}$, где $A_{D_{p}} \in \mathcal{F}_{D_{p}}$ для каждого $p \in P$ и $A_{D_{p}} \neq \Omega_{D_{p}}$ не более чем для конечного числа $p \in P$. (b) Для каждого множества в $\mathcal{F}$ существует единственное соответствующее множество в $\mathcal{F}^{*}$, и наоборот; т.е. $\Phi$ устанавливает взаимно однозначное соответствие между $\mathcal{F}$ и $\mathcal{F}^{*}$.

Утверждение 4: Определим набор $\mathscr {H}=\left\{ B \subseteq \Omega : B=\Phi_{F}^{-1}\left(A_{F} \times \Omega_{F^{c}}\right) \text{ для некоторого конечного } F \subseteq I \text{ и } A_{F} \in \mathcal{F}_{F}\right\}$. Тогда: (a) $\mathscr {H}$ является полем на $\Omega$ с $\mathscr {G} \subseteq \mathscr {H} \subseteq \mathcal{F}$, где $\mathscr {G}$ — поле на $\Omega$, порождённое множествами $\underset {i \in I}{\times } A_{i}$ с $A_{i} \in \mathcal{F}_{i}$ для каждого $i \in I$ и $A_{i} \neq \Omega_{i}$ не более чем для конечного числа $i \in I$; (b) $\sigma (\mathscr {H})=\mathcal{F}$; (c) существует единственная конечно аддитивная мера $\mu$ на поле $\mathscr {H}$, такая что $\mu \left(\Phi_{F}^{-1}\left(A_{F} \times \Omega_{F^{c}}\right)\right)=\mu_{F}(A_{F})$ для каждого конечного $F \subseteq I$ и $A_{F} \in \mathcal{F}_{F}$. Подутверждение 1 (используется при доказательстве (a)): Пусть $A_{F_{1}} \in \mathcal{F}_{F_{1}}$. Существует $C_{F_{1} \cup F_{2}} \in \mathcal{F}_{F_{1} \cup F_{2}}$, обладающее свойством $\Phi_{F_{1}}^{-1}\left(A_{F_{1}} \times \Omega_{F_{1}^{c}}\right)=\Phi_{F_{1} \cup F_{2}}^{-1}\left(C_{F_{1} \cup F_{2}} \times \Omega_{\left(F_{1} \cup F_{2}\right)^{c}}\right)$. Подутверждение 2 (используется при доказательстве корректности определения $\mu$, для заданных конечных $F_{1}, F_{2} \subseteq I$ и $F_{3}=F_{1} \cup F_{2}$): Пусть $A_{F_{1}} \in \mathcal{F}_{F_{1}}$. Тогда $\Phi_{F_{1}}^{-1}\left(A_{F_{1}} \times \Omega_{F_{1}^{c}}\right)=\Phi_{F_{3}}^{-1}\left[\Phi_{F_{1}, F_{3}}^{-1}\left(A_{F_{1}} \times \Omega_{F_{3} \backslash F_{1}}\right) \times \Omega_{F_{3}^{c}}\right]$.

Утверждение 7: Пусть $\left\{ (\Omega_{i}, \mathcal{F}_{i}, \mu_{i})\right\}_{i=1}^{\infty }$ обозначает последовательность пространств с мерой с $\mu_{i}(\Omega_{i})=1$ для каждого $i \in \mathbb {N}$. Существует единственная мера $\mu$ на $\mathcal{F}$, такая что $\mu \left(\Phi_{F}^{-1}\left(A_{F} \times \Omega_{F^{c}}\right)\right)=\mu_{F}(A_{F})$ всякий раз, когда $F \subseteq \mathbb {N}$ конечно и $A_{F} \in \mathcal{F}_{F}$. В ходе доказательства того, что конечно аддитивная мера $\mu$ из Утверждения 4 на самом деле счётно аддитивна на $\mathscr {H}$, фиксируется невозрастающая последовательность $\left\{ E_{m}\right\}$ множеств из $\mathscr {H}$ с $\bigcap_{m} E_{m}=\varnothing$, записывается $E_{m}=\Phi_{\mathbb {N}_{m}}^{-1}\left(A_{\mathbb {N}_{m}} \times \Omega_{\mathbb {N}_{m}^{c}}\right)$, и, предполагая от противного, что $\mu (E_{m})$ не стремится к $0$, строится точка $\xi =(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots ) \in \Omega$. Подутверждение 3: Не может быть так, что для некоторого $n \in \mathbb {N}$ и некоторого достаточно большого $m>n$ выполняется $\; \mathbb {1}_{A_{\mathbb {N}_{m}}}\left(\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}, \omega_{n+1}, \ldots , \omega_{m}\right)=0$ для каждого $\omega_{n+1} \in \Omega_{n+1}, \ldots , \omega_{m} \in \Omega_{m}$.

Заметим, что Утверждение 4 этого раздела не требует, чтобы отдельные пространства-компоненты имели меру, равную единице, и следовательно мы можем построить меру $\mu_{F}$, как указано в определении, следующем за Утверждением 4, для этой слегка более общей ситуации. Утверждение 4: Определим набор $\mathscr {H}=\left\{ B \subseteq \Omega : B=\Phi_{F}^{-1}\left(A_{F} \times \Omega_{F^{c}}\right) \text{ для некоторого конечного } F \subseteq I \text{ и } A_{F} \in \mathcal{F}_{F}\right\}$. Тогда: (a) $\mathscr {H}$ является полем на $\Omega$ с $\mathscr {G} \subseteq \mathscr {H} \subseteq \mathcal{F}$, где $\mathscr {G}$ — поле на $\Omega$, порождённое множествами $\underset {i \in I}{\times } A_{i}$ с $A_{i} \in \mathcal{F}_{i}$ для каждого $i \in I$ и $A_{i} \neq \Omega_{i}$ не более чем для конечного числа $i \in I$; (b) $\sigma (\mathscr {H})=\mathcal{F}$; (c) существует единственная конечно аддитивная мера $\mu$ на поле $\mathscr {H}$, такая что $\mu \left(\Phi_{F}^{-1}\left(A_{F} \times \Omega_{F^{c}}\right)\right)=\mu_{F}(A_{F})$ для каждого конечного $F \subseteq I$ и $A_{F} \in \mathcal{F}_{F}$.

Запишите $E$ как предел последовательности $\left\{ A_{1} \times \cdots \times A_{n} \times \Omega_{n+1} \times \Omega_{n+2} \times \cdots \right\}_{n=1}^{\infty }$. Эта последовательность принадлежит $\mathcal{F}$ и убывает к $\underset {i=1}{\overset {\infty }{\times }} A_{i}$. Используйте тот факт, что меры непрерывны сверху, и примените свойство мультипликативности $\mu$.

Утверждение 7: Пусть $\left\{ (\Omega_{i}, \mathcal{F}_{i}, \mu_{i})\right\}_{i=1}^{\infty }$ обозначает последовательность пространств с мерой с $\mu_{i}(\Omega_{i})=1$ для каждого $i \in \mathbb {N}$. Существует единственная мера $\mu$ на $\mathcal{F}$, такая что $\mu \left(\Phi_{F}^{-1}\left(A_{F} \times \Omega_{F^{c}}\right)\right)=\mu_{F}(A_{F})$ всякий раз, когда $F \subseteq \mathbb {N}$ конечно и $A_{F} \in \mathcal{F}_{F}$.

Основа: Пусть $(\Omega_{i}, \mathcal{F}_{i}, \mu_{i})$ обозначает пространство с мерой с $\mu_{i}(\Omega_{i})=1$ для каждого $i$ из множества индексов $I$, в этом разделе принимаемого равным $I=\mathbb {N}$. Пусть $\mathbb {N}_{m}=\left\{ 1, \cdots , m\right\}$ для каждого $m \in \mathbb {N}$. Пусть $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$, где $\mathcal{F}$ и $\mu$ — произведение $\sigma$-поля и меры, обсуждённое и построенное в двух предыдущих разделах этой главы. Для каждого $\omega \in \Omega$ и $n \in \mathbb {N}$ запишем

[Отметим, что для каждого $\omega \in \Omega$ величина $f_{n}(\omega )$ не зависит от $\omega_{n+1}, \omega_{n+2}, \cdots$.] Для каждого $\omega \in \Omega$ и $n \in \mathbb {N}$ запишем

[Отметим, что для каждого $\omega \in \Omega$ величина $f_{n}^{\prime }(\omega )$ не зависит от $\omega_{1}, \cdots , \omega_{n}$.]

Утверждение 1: $\lim_{n} f_{n}(\omega )=f(\omega )$ для $\mu$-п.в. $\omega \in \Omega$, где $f_{n}$ определена в Основе этого раздела (см. упражнение 11.3.1).

Закон нуля и единицы Колмогорова: Пусть $\omega$ и $\xi$ обозначают элементы $\Omega$. Скажем, что $\omega$ и $\xi$ в конечном счёте равны, что записывается как $\omega =_{u} \xi$, если и только если существует $N$, такое что $\omega_{n}=\xi_{n}$ для всех $n \geq N$. Теперь пусть $U \in \mathcal{F}$ обладает следующим свойством: для каждого $\omega \in \Omega$, $\omega \in U$ тогда и только тогда, когда каждое $\xi \in \Omega$ с $\xi =_{u} \omega$ принадлежит $U$. Тогда $\mu (U) \in \left\{ 0,1\right\}$.

Утверждение 4: $\lim_{n} f_{n}^{\prime }(\omega )$ существует и равно числу $\int_{\Omega } f \, d\mu$ для $\mu$-п.в. $\omega \in \Omega$, где $f_{n}^{\prime }$ определена в Основе этого раздела (см. упражнение 11.3.1).

Для пункта (b): $\mathcal{F}^{(n)}$ обозначает $\sigma$-поле $\left\{ A_{\mathbb {N}_{n}} \times \Omega_{\mathbb {N}_{n}^{c}}: A_{\mathbb {N}_{n}} \in \mathcal{F}_{\mathbb {N}_{n}}\right\}$, построенное в доказательстве Утверждения 1 этого раздела, а $\mathcal{F}_{0}=\bigcap_{n=1}^{\infty } \mathcal{F}^{(n)}$ обозначает хвостовое $\sigma$-поле $\Omega$ — то $\sigma$-поле, к которому применяется закон нуля и единицы Колмогорова.

Используйте либо закон нуля и единицы, либо Утверждение 4. Утверждение 4: $\lim_{n} f_{n}^{\prime }(\omega )$ существует и равно числу $\int_{\Omega } f \, d\mu$ для $\mu$-п.в. $\omega \in \Omega$, где $f_{n}^{\prime }$ определена в Основе этого раздела (см. упражнение 11.3.1).

Поскольку $\mu (\Omega )=1$, имеем $L^{p}(\Omega , \mathcal{F}, \mu ) \subseteq L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ по Утверждению 1 раздела 8.5, так что $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$. Используя теорему Фубини, отображение

принадлежит $L^{1}(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1})$. Эта функция $\mathcal{F}_{1}/\mathcal{B}^{*}$-измерима, и, поскольку отображение

не зависит от $\omega_{2}$, оно $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$-измеримо. Далее проверьте, что

(Второе неравенство следует из Утверждения 1 раздела 8.5.) Это показывает, что $Sf$ принадлежит $L^{p}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ и $\left\| Sf\right\|_{p} \leq \left\| f\right\|_{p}$.

Схема: Пусть $(\Omega_{i}, \mathcal{F}_{i}, \mu_{i})$ обозначает бесконечное семейство пространств с мерой, причём $\mu_{i}(\Omega_{i})=1$ для каждого $i \in I$. Для всякого конечного подмножества $F \subseteq I$ мы используем соглашения об отождествлении из Утверждения 9 Раздела 11.2, чтобы отождествить бесконечное произведение пространств $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ с $(\Omega_{F} \times \Omega_{F^{c}}, \mathcal{F}_{F} \otimes \mathcal{F}_{F^{c}}, \mu_{F} \otimes \mu_{F^{c}})$. Возьмём $1 \leq p<+\infty$ и $f \in L^{p}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$. Определим $f_{F^{c}}$ на $\Omega$, полагая

Таким образом, $f_{F^{c}}$ является функцией вида $Sf$, как в Упражнении 11.3.8 (где $F$ играет роль индексного множества, отождествляемого там с $\Omega_{1}$, а $F^{c}$ — роль, отождествляемую с $\Omega_{2}$). Далее определим $f_{F}$ на $\Omega$, полагая

Утверждение 3: Пусть $F \subseteq \mathbb {N}$ непусто и конечно, и для каждого $i \in F$ пусть $f_{i}$ обозначает функцию из $L^{1}(\Omega_{i}, \mathcal{F}_{i}, \mu_{i})$. Пусть $g$ обозначает отображение на $\Omega$, заданное для каждого $\omega \in \Omega$ правилом $\omega \mapsto \prod_{i \in F} f_{i}(\omega_{i})$. Тогда

Усиленный закон больших чисел в $L^{2}$: Для каждого $k \in \mathbb {N}$ пусть $g_{k}$ обозначает функцию из $L^{2}(\Omega_{k}, \mathcal{F}_{k}, \mu_{k})$ такую, что $\int_{\Omega_{k}} g_{k} \, d\mu_{k}=0$. Пусть $f_{k}$ обозначает функцию на $\Omega$, сопоставляющую каждому $\omega \in \Omega$ значение $g_{k}(\omega_{k})$. Предположим, что $\sum_{k=1}^{\infty } \frac{\left\| g_{k}\right\|_{2}^{2}}{k^{2}}$ сходится. Тогда $\lim_{n} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f_{k}(\omega )=0$ для $\mu$-почти всех $\omega \in \Omega$.