Банк задач по математике

Задача 11.3.1

Быстро проверьте, что

определения $f_{n}$ и $f_{n}^{\prime }$ имеют смысл для каждого $\omega \in \Omega$ , когда $f$ неотрицательна, и
определения имеют смысл для $\mu$ -п.в. $\omega \in \Omega$ , когда $f$ в $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ произвольна.

?

Примечание.

?

Основа: Пусть $(\Omega_{i}, \mathcal{F}_{i}, \mu_{i})$ обозначает пространство с мерой с $\mu_{i}(\Omega_{i})=1$ для каждого $i$ из множества индексов $I$ , в этом разделе принимаемого равным $I=\mathbb {N}$ . Пусть $\mathbb {N}_{m}=\left\{ 1, \cdots , m\right\}$ для каждого $m \in \mathbb {N}$ . Пусть $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ , где $\mathcal{F}$ и $\mu$ — произведение $\sigma$ -поля и меры, обсуждённое и построенное в двух предыдущих разделах этой главы. Для каждого $\omega \in \Omega$ и $n \in \mathbb {N}$ запишем

\begin{aligned} f_{n}(\omega ) & =f_{n}(\omega _{1}, \cdots , \omega _{n}, \omega _{n+1}, \cdots ) \\ & =\int _{\Omega _{\mathbb {N}_{n}^{c}}} f(\omega _{1}, \cdots , \omega _{n}, \xi _{n+1}, \cdots ) \, d\mu _{\mathbb {N}_{n}^{c}}(\xi _{n+1}, \cdots ). \end{aligned}

[Отметим, что для каждого $\omega \in \Omega$ величина $f_{n}(\omega )$ не зависит от $\omega_{n+1}, \omega_{n+2}, \cdots$ .] Для каждого $\omega \in \Omega$ и $n \in \mathbb {N}$ запишем

\begin{aligned} f_{n}^{\prime }(\omega ) & =f_{n}^{\prime }(\omega _{1}, \cdots , \omega _{n}, \omega _{n+1}, \cdots ) \\ & =\int _{\Omega _{\mathbb {N}_{n}}} f(\xi _{1}, \cdots , \xi _{n}, \omega _{n+1}, \cdots ) \, d\mu _{\mathbb {N}_{n}}(\xi _{1}, \cdots , \xi _{n}). \end{aligned}

[Отметим, что для каждого $\omega \in \Omega$ величина $f_{n}^{\prime }(\omega )$ не зависит от $\omega_{1}, \cdots , \omega_{n}$ .]

Задача 11.3.2

Исходя из того, что Утверждение 1 верно для неотрицательной $f$ , покажите, что Утверждение 1 верно для произвольной $f$ в $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ .

?

Примечание.

?

Утверждение 1: $\lim_{n} f_{n}(\omega )=f(\omega )$ для $\mu$ -п.в. $\omega \in \Omega$ , где $f_{n}$ определена в Основе этого раздела (см. упражнение 11.3.1).

Задача 11.3.3

Рассмотрите основу этого раздела. Для каждого $n \in \mathbb {N}$ пусть $E^{(n)} \in \mathcal{F}_{n}$ , и запишем $E_{n}=E^{(n)} \times \Omega_{\left\{ n\right\}^{c}}$ . Определим $F=\bigcap_{n=1}^{\infty } \bigcup_{k=n}^{\infty } E_{k}$ . Используя закон нуля и единицы Колмогорова, покажите, что $\mu (F)$ обязано быть нулём или единицей.

?

Примечание.

?

Закон нуля и единицы Колмогорова: Пусть $\omega$ и $\xi$ обозначают элементы $\Omega$ . Скажем, что $\omega$ и $\xi$ в конечном счёте равны, что записывается как $\omega =_{u} \xi$ , если и только если существует $N$ , такое что $\omega_{n}=\xi_{n}$ для всех $n \geq N$ . Теперь пусть $U \in \mathcal{F}$ обладает следующим свойством: для каждого $\omega \in \Omega$ , $\omega \in U$ тогда и только тогда, когда каждое $\xi \in \Omega$ с $\xi =_{u} \omega$ принадлежит $U$ . Тогда $\mu (U) \in \left\{ 0,1\right\}$ .

Задача 11.3.4

Докажите Утверждение 3: пусть $(\Xi , \mathcal{Q}, \mu )$ обозначает произвольное пространство с мерой, и предположим, что каждое $A \in \mathcal{Q}$ таково, что $\mu (A) \in \left\{ 0,1\right\}$ . Пусть $f: \Xi \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ обозначает $\mathcal{Q}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримую функцию. Тогда найдётся $\alpha$ , такое что $f=\alpha$ $\mu$ -п.в. на $\Xi$ .

?

Задача 11.3.5

Используя тот факт, что Утверждение 4 верно для неотрицательной $f$ в $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ , быстро покажите, что Утверждение 4 верно для произвольной $f$ в $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ .

?

Примечание.

?

Утверждение 4: $\lim_{n} f_{n}^{\prime }(\omega )$ существует и равно числу $\int_{\Omega } f \, d\mu$ для $\mu$ -п.в. $\omega \in \Omega$ , где $f_{n}^{\prime }$ определена в Основе этого раздела (см. упражнение 11.3.1).

Задача 11.3.6

(a)(b)

Вернитесь к основе упражнения 11.2.5 из предыдущего раздела для следующего упражнения, взятого из (22.19) Хьюитта и Стромберга.

?

(a)

Пусть $D$ обозначает бесконечное подмножество $\mathbb {N}$ , и зафиксируем $\omega \in \Omega$ . Определим $\mathcal{F}$ -множество $B$ равенством $B=\left\{ x \in \Omega : \omega_{n}=x_{n} \text{ для каждого } n \in D\right\}$ . Тогда $\mu (B)=0$ .

(b)

Используя обозначения упражнения 11.2.5, имеем для каждого $n \in \mathbb {N}$

A(0_{1}, 0_{3}, 0_{5}, \cdots , 0_{2n-1})=\left\{ x \in \Omega : x_{1}=x_{3}=\cdots =x_{2n-1}=0\right\} .

Обозначим указанное множество через $S_{n}$ . Тогда $\lim_{n} 2^{n} \; \mathbb {1}_{S_{n}}(\omega )=0$ для $\mu$ -п.в. $\omega \in \Omega$ .

Примечание.

?

Для пункта (b): $\mathcal{F}^{(n)}$ обозначает $\sigma$ -поле $\left\{ A_{\mathbb {N}_{n}} \times \Omega_{\mathbb {N}_{n}^{c}}: A_{\mathbb {N}_{n}} \in \mathcal{F}_{\mathbb {N}_{n}}\right\}$ , построенное в доказательстве Утверждения 1 этого раздела, а $\mathcal{F}_{0}=\bigcap_{n=1}^{\infty } \mathcal{F}^{(n)}$ обозначает хвостовое $\sigma$ -поле $\Omega$ — то $\sigma$ -поле, к которому применяется закон нуля и единицы Колмогорова.

Задача 11.3.7

Если $f$ — $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримая функция на $\Omega$ , такая что

f(\omega _{1}, \cdots , \omega _{n}, \rho _{n+1}, \rho _{n+2}, \cdots )=f(\xi _{1}, \cdots , \xi _{n}, \rho _{n+1}, \rho _{n+2}, \cdots )

для каждого $n \in \mathbb {N}$ и любого выбора $(\omega_{1}, \cdots , \omega_{n})$ и $(\xi_{1}, \cdots , \xi_{n})$ в $\Omega_{\mathbb {N}_{n}}$ , то $f$ постоянна $\mu$ -п.в. на $\Omega$ .

?

Примечание.

?

Используйте либо закон нуля и единицы, либо Утверждение 4. Утверждение 4: $\lim_{n} f_{n}^{\prime }(\omega )$ существует и равно числу $\int_{\Omega } f \, d\mu$ для $\mu$ -п.в. $\omega \in \Omega$ , где $f_{n}^{\prime }$ определена в Основе этого раздела (см. упражнение 11.3.1).

Задача 11.3.8

Пусть $(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1})$ и $(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mu_{2})$ обозначают пространства с мерой с $\mu_{1}(\Omega_{1})=1$ и $\mu_{2}(\Omega_{2})=1$ . Запишем

(\Omega , \mathcal{F}, \mu )=(\Omega _{1} \times \Omega _{2}, \mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}, \mu _{1} \otimes \mu _{2}).

Пусть $1 \leq p<+\infty$ . Для $f \in L^{p}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ пусть $Sf$ обозначает функцию на $\Omega$ , такую что

Sf(\omega _{1}, \omega _{2})=\int _{\Omega _{2}} f(\omega _{1}, \xi _{2}) \, d\mu _{2}(\xi _{2})

для каждого $(\omega_{1}, \omega_{2}) \in \Omega$ . Тогда $Sf \in L^{p}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ и $\left\| Sf\right\|_{p} \leq \left\| f\right\|_{p}$ .

?

Примечание.

?

Поскольку $\mu (\Omega )=1$ , имеем $L^{p}(\Omega , \mathcal{F}, \mu ) \subseteq L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ по Утверждению 1 раздела 8.5, так что $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . Используя теорему Фубини, отображение

\omega _{1} \mapsto \int _{\Omega _{2}} f(\omega _{1}, \xi _{2}) \, d\mu _{2}(\xi _{2})

принадлежит $L^{1}(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mu_{1})$ . Эта функция $\mathcal{F}_{1}/\mathcal{B}^{*}$ -измерима, и, поскольку отображение

(\omega _{1}, \omega _{2}) \mapsto \int _{\Omega _{2}} f(\omega _{1}, \xi _{2}) \, d\mu _{2}(\xi _{2})

не зависит от $\omega_{2}$ , оно $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$ -измеримо. Далее проверьте, что

\begin{aligned} \left\| Sf\right\| _{p}^{p} & =\int _{\Omega _{1} \times \Omega _{2}} \left|\int _{\Omega _{2}} f(\omega _{1}, \xi _{2}) \, d\mu _{2}(\xi _{2})\right|^{p} \, d\mu _{1} \otimes \mu _{2}(\omega _{1}, \omega _{2}) \\ & \leq \int _{\Omega _{1} \times \Omega _{2}}\left[\int _{\Omega _{2}} \left|f(\omega _{1}, \xi _{2})\right| \, d\mu _{2}(\xi _{2})\right]^{p} \, d\mu _{1} \otimes \mu _{2}(\omega _{1}, \omega _{2}) \\ & \leq \int _{\Omega _{1} \times \Omega _{2}} \int _{\Omega _{2}} \left|f(\omega _{1}, \xi _{2})\right|^{p} \, d\mu _{2}(\xi _{2}) \, d\mu _{1} \otimes \mu _{2}(\omega _{1}, \omega _{2}) \\ & =\int _{\Omega _{2}}\left(\int _{\Omega _{1}} \int _{\Omega _{2}} \left|f(\omega _{1}, \xi _{2})\right|^{p} \, d\mu _{2}(\xi _{2}) \, d\mu _{1}(\omega _{1})\right) \, d\mu _{2}(\omega _{2}) \\ & =\int _{\Omega _{2}}\left[\int _{\Omega _{1} \times \Omega _{2}} \left|f(\omega _{1}, \xi _{2})\right|^{p} \, d\mu _{1} \otimes \mu _{2}(\omega _{1}, \xi _{2})\right] \, d\mu _{2}(\omega _{2}) \\ & =\int _{\Omega _{2}} \left\| f\right\| _{p}^{p} \, d\mu _{2}(\omega _{2}) \\ & =\left\| f\right\| _{p}^{p}. \end{aligned}

(Второе неравенство следует из Утверждения 1 раздела 8.5.) Это показывает, что $Sf$ принадлежит $L^{p}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ и $\left\| Sf\right\|_{p} \leq \left\| f\right\|_{p}$ .

Задача 11.3.9

(a)(b)

Верны следующие утверждения, в рамках нижеследующей схемы. Множества, обозначенные как $F$ [с индексом или без], являются конечными множествами.

?

(a)

$f_{F^{c}} \in L^{p}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ , и для всякого $\epsilon >0$ существует конечное $F_{0} \subseteq I$ такое, что $F \supseteq F_{0}$ влечёт $\left\| f_{F^{c}}-\int_{\Omega } f \, d\mu \right\|_{p}<\epsilon$ .

(b)

$f_{F} \in L^{p}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ , и для всякого $\epsilon >0$ существует конечное $F_{0} \subseteq I$ такое, что $F \supseteq F_{0}$ влечёт $\left\| f_{F}-f\right\|_{p}_{p}=0$ .

Примечание.

?

Схема: Пусть $(\Omega_{i}, \mathcal{F}_{i}, \mu_{i})$ обозначает бесконечное семейство пространств с мерой, причём $\mu_{i}(\Omega_{i})=1$ для каждого $i \in I$ . Для всякого конечного подмножества $F \subseteq I$ мы используем соглашения об отождествлении из Утверждения 9 Раздела 11.2, чтобы отождествить бесконечное произведение пространств $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ с $(\Omega_{F} \times \Omega_{F^{c}}, \mathcal{F}_{F} \otimes \mathcal{F}_{F^{c}}, \mu_{F} \otimes \mu_{F^{c}})$ . Возьмём $1 \leq p<+\infty$ и $f \in L^{p}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . Определим $f_{F^{c}}$ на $\Omega$ , полагая

f_{F^{c}}(\omega _{F}, \omega _{F^{c}})=\int _{\Omega _{F}} f(\xi _{F}, \omega _{F^{c}}) \, d\mu _{F}(\xi _{F}).

Таким образом, $f_{F^{c}}$ является функцией вида $Sf$ , как в Упражнении 11.3.8 (где $F$ играет роль индексного множества, отождествляемого там с $\Omega_{1}$ , а $F^{c}$ — роль, отождествляемую с $\Omega_{2}$ ). Далее определим $f_{F}$ на $\Omega$ , полагая

f_{F}(\omega _{F}, \omega _{F^{c}})=\int _{\Omega _{F^{c}}} f(\omega _{F}, \xi _{F^{c}}) \, d\mu _{F^{c}}(\xi _{F^{c}}).

Теоремы о сходимости в произведении пространств