Банк задач по математике

Задача 11.2.1

(a)(b)(c)

Обратитесь к доказательству Утверждения 4.

?

(a)

Докажите Подутверждение 1.

(b)

Докажите Подутверждение 2.

(c)

Почему мы не можем использовать тот же тип доказательства, что применялся для установления конечной аддитивности $\mu$ , чтобы показать, что $\mu$ , определённая на $\mathscr {H}$ , является счётно аддитивной?

Примечание.

?

Утверждение 4: Определим набор $\mathscr {H}=\left\{ B \subseteq \Omega : B=\Phi_{F}^{-1}\left(A_{F} \times \Omega_{F^{c}}\right) \text{ для некоторого конечного } F \subseteq I \text{ и } A_{F} \in \mathcal{F}_{F}\right\}$ . Тогда: (a) $\mathscr {H}$ является полем на $\Omega$ с $\mathscr {G} \subseteq \mathscr {H} \subseteq \mathcal{F}$ , где $\mathscr {G}$ — поле на $\Omega$ , порождённое множествами $\underset {i \in I}{\times } A_{i}$ с $A_{i} \in \mathcal{F}_{i}$ для каждого $i \in I$ и $A_{i} \neq \Omega_{i}$ не более чем для конечного числа $i \in I$ ; (b) $\sigma (\mathscr {H})=\mathcal{F}$ ; (c) существует единственная конечно аддитивная мера $\mu$ на поле $\mathscr {H}$ , такая что $\mu \left(\Phi_{F}^{-1}\left(A_{F} \times \Omega_{F^{c}}\right)\right)=\mu_{F}(A_{F})$ для каждого конечного $F \subseteq I$ и $A_{F} \in \mathcal{F}_{F}$ . Подутверждение 1 (используется при доказательстве (a)): Пусть $A_{F_{1}} \in \mathcal{F}_{F_{1}}$ . Существует $C_{F_{1} \cup F_{2}} \in \mathcal{F}_{F_{1} \cup F_{2}}$ , обладающее свойством $\Phi_{F_{1}}^{-1}\left(A_{F_{1}} \times \Omega_{F_{1}^{c}}\right)=\Phi_{F_{1} \cup F_{2}}^{-1}\left(C_{F_{1} \cup F_{2}} \times \Omega_{\left(F_{1} \cup F_{2}\right)^{c}}\right)$ . Подутверждение 2 (используется при доказательстве корректности определения $\mu$ , для заданных конечных $F_{1}, F_{2} \subseteq I$ и $F_{3}=F_{1} \cup F_{2}$ ): Пусть $A_{F_{1}} \in \mathcal{F}_{F_{1}}$ . Тогда $\Phi_{F_{1}}^{-1}\left(A_{F_{1}} \times \Omega_{F_{1}^{c}}\right)=\Phi_{F_{3}}^{-1}\left[\Phi_{F_{1}, F_{3}}^{-1}\left(A_{F_{1}} \times \Omega_{F_{3} \backslash F_{1}}\right) \times \Omega_{F_{3}^{c}}\right]$ .

Задача 11.2.2

Докажите равенства (*) и (**), приведённые в доказательстве Подутверждения 3 Утверждения 7.

?

Примечание.

?

Утверждение 7: Пусть $\left\{ (\Omega_{i}, \mathcal{F}_{i}, \mu_{i})\right\}_{i=1}^{\infty }$ обозначает последовательность пространств с мерой с $\mu_{i}(\Omega_{i})=1$ для каждого $i \in \mathbb {N}$ . Существует единственная мера $\mu$ на $\mathcal{F}$ , такая что $\mu \left(\Phi_{F}^{-1}\left(A_{F} \times \Omega_{F^{c}}\right)\right)=\mu_{F}(A_{F})$ всякий раз, когда $F \subseteq \mathbb {N}$ конечно и $A_{F} \in \mathcal{F}_{F}$ . В ходе доказательства того, что конечно аддитивная мера $\mu$ из Утверждения 4 на самом деле счётно аддитивна на $\mathscr {H}$ , фиксируется невозрастающая последовательность $\left\{ E_{m}\right\}$ множеств из $\mathscr {H}$ с $\bigcap_{m} E_{m}=\varnothing$ , записывается $E_{m}=\Phi_{\mathbb {N}_{m}}^{-1}\left(A_{\mathbb {N}_{m}} \times \Omega_{\mathbb {N}_{m}^{c}}\right)$ , и, предполагая от противного, что $\mu (E_{m})$ не стремится к $0$ , строится точка $\xi =(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots ) \in \Omega$ . Подутверждение 3: Не может быть так, что для некоторого $n \in \mathbb {N}$ и некоторого достаточно большого $m>n$ выполняется $\; \mathbb {1}_{A_{\mathbb {N}_{m}}}\left(\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}, \omega_{n+1}, \ldots , \omega_{m}\right)=0$ для каждого $\omega_{n+1} \in \Omega_{n+1}, \ldots , \omega_{m} \in \Omega_{m}$ .

Задача 11.2.3

Пусть $\left\{ (\Omega_{i}, \mathcal{F}_{i}, \mu_{i})\right\}_{i=1}^{\infty }$ обозначает последовательность пространств с мерой, такую что $\mu_{i}(\Omega_{i})=1$ для всех, кроме конечного числа, $i \in \mathbb {N}$ , а остальные конечное число пространств с мерой являются $\sigma$ -конечными. Существует мера $\mu$ на $\mathcal{F}$ , такая что $\mu \left(A_{F} \times \Omega_{F^{c}}\right)=\mu_{F}(A_{F})$ для каждого непустого конечного $F \subseteq I$ и $A_{F} \in \mathcal{F}_{F}$ .

?

Примечание.

?

Заметим, что Утверждение 4 этого раздела не требует, чтобы отдельные пространства-компоненты имели меру, равную единице, и следовательно мы можем построить меру $\mu_{F}$ , как указано в определении, следующем за Утверждением 4, для этой слегка более общей ситуации. Утверждение 4: Определим набор $\mathscr {H}=\left\{ B \subseteq \Omega : B=\Phi_{F}^{-1}\left(A_{F} \times \Omega_{F^{c}}\right) \text{ для некоторого конечного } F \subseteq I \text{ и } A_{F} \in \mathcal{F}_{F}\right\}$ . Тогда: (a) $\mathscr {H}$ является полем на $\Omega$ с $\mathscr {G} \subseteq \mathscr {H} \subseteq \mathcal{F}$ , где $\mathscr {G}$ — поле на $\Omega$ , порождённое множествами $\underset {i \in I}{\times } A_{i}$ с $A_{i} \in \mathcal{F}_{i}$ для каждого $i \in I$ и $A_{i} \neq \Omega_{i}$ не более чем для конечного числа $i \in I$ ; (b) $\sigma (\mathscr {H})=\mathcal{F}$ ; (c) существует единственная конечно аддитивная мера $\mu$ на поле $\mathscr {H}$ , такая что $\mu \left(\Phi_{F}^{-1}\left(A_{F} \times \Omega_{F^{c}}\right)\right)=\mu_{F}(A_{F})$ для каждого конечного $F \subseteq I$ и $A_{F} \in \mathcal{F}_{F}$ .

Задача 11.2.4

Пусть $\left\{ (\Omega_{i}, \mathcal{F}_{i}, \mu_{i})\right\}_{i=1}^{\infty }$ обозначает последовательность пространств с мерой с $\mu_{i}(\Omega_{i})=1$ для каждого $i \in \mathbb {N}$ . Если $E$ имеет вид $\underset {i=1}{\overset {\infty }{\times }} A_{i}$ , где $A_{i} \in \mathcal{F}_{i}$ для каждого $i \in \mathbb {N}$ , то $E \in \mathcal{F}$ и

\mu (E)=\prod _{i=1}^{\infty } \mu _{i}(A_{i})=\lim _{n} \prod _{i=1}^{n} \mu _{i}(A_{i}).

?

Примечание.

?

Запишите $E$ как предел последовательности $\left\{ A_{1} \times \cdots \times A_{n} \times \Omega_{n+1} \times \Omega_{n+2} \times \cdots \right\}_{n=1}^{\infty }$ . Эта последовательность принадлежит $\mathcal{F}$ и убывает к $\underset {i=1}{\overset {\infty }{\times }} A_{i}$ . Используйте тот факт, что меры непрерывны сверху, и примените свойство мультипликативности $\mu$ .

Задача 11.2.5

Пусть $I=\mathbb {N}$ , пусть $\Omega_{i}=\left\{ 0,1\right\}$ для каждого $i \in \mathbb {N}$ , и пусть $\mathcal{F}_{i}=2^{\Omega_{i}}$ для каждого $i \in \mathbb {N}$ . Для каждого $i \in \mathbb {N}$ пусть $\mu_{i}$ определена на $\mathcal{F}_{i}$ равенствами $\mu_{i}(\left\{ 0\right\} )=\mu_{i}(\left\{ 1\right\} )=\frac{1}{2}$ . Пусть $\Omega =\underset {i=1}{\overset {\infty }{\times }} \Omega_{i}$ , пусть $\mathcal{F}$ обозначает обычное $\sigma$ -поле на $\Omega$ , и пусть $\mu$ обозначает меру из Утверждения 7.

?

(a)

Для произвольного конечного подмножества $\left\{ i_{1}, \cdots , i_{k}\right\}$ множества $I$ и последовательности $(a_{i_{1}}, \cdots , a_{i_{k}})$ нулей и единиц определим

A(a_{i_{1}}, \cdots , a_{i_{k}})=\left\{ \omega \in \Omega : \omega _{i_{1}}=a_{i_{1}}, \cdots , \omega _{i_{k}}=a_{i_{k}}\right\} .

Покажите, что $\mu \left(A(a_{i_{1}}, \cdots , a_{i_{k}})\right)=2^{-k}$ .

(b)

Для каждого $i \in \mathbb {N}$ определим $f_{i}$ на $\Omega$ равенством $f_{i}(\omega )=\omega_{i}-\frac{1}{2}$ . Далее, для каждого $n \in \mathbb {N}$ определим $h_{n}=\frac{1}{n}(f_{1}+\cdots +f_{n})$ .

Покажите, что $f_{j}=\; \mathbb {1}_{A(1_{j})}-\frac{1}{2}$ для каждого $j \in \mathbb {N}$ .
Покажите, что $f_{j} f_{k}=\; \mathbb {1}_{A(1_{j}, 1_{k})}-\frac{1}{2}\; \mathbb {1}_{A(1_{j})}-\frac{1}{2}\; \mathbb {1}_{A(1_{k})}+\frac{1}{4}$ для всех $j, k \in \mathbb {N}$ с $j \neq k$ .
Покажите, что $f_{j}^{2}=\frac{1}{4}$ для каждого $j \in \mathbb {N}$ .

(c)

Покажите, что

\left\| h_{n}\right\| _{2}^{2}=\frac{1}{n^{2}} \sum _{j=1}^{n} \sum _{k=1}^{n} \int _{\Omega } f_{j} f_{k} \, d\mu =\frac{1}{4n^{2}} \sum _{j=1}^{n} \sum _{k=1}^{n} \delta _{jk}=\frac{1}{4n},

где $\delta_{jk}$ равно $1$ или $0$ в зависимости от того, $j=k$ или $j \neq k$ . Следовательно, $h_{n}$ сходится к $0$ по норме $L^{2}$ .

(d)

Покажите, что $h_{n}$ сходится по мере к $0$ . То есть для каждого $\epsilon >0$ имеем

\lim _{n} \mu \left(\left\{ \omega \in \Omega : \left|\frac{\omega _{1}+\cdots +\omega _{n}}{n}-\frac{1}{2}\right|>\epsilon \right\} \right)=0.

(e)

Пусть $0$ и $1$ соответствуют выпадению орла или решки соответственно при подбрасывании честной монеты. Тогда $\frac{1}{n}(\omega_{1}+\cdots +\omega_{n})$ в определённом смысле можно рассматривать как долю решек среди первых $n$ подбрасываний. Дайте интерпретацию пункта (d) в этой постановке подбрасывания монеты.

Примечание.

?

Утверждение 7: Пусть $\left\{ (\Omega_{i}, \mathcal{F}_{i}, \mu_{i})\right\}_{i=1}^{\infty }$ обозначает последовательность пространств с мерой с $\mu_{i}(\Omega_{i})=1$ для каждого $i \in \mathbb {N}$ . Существует единственная мера $\mu$ на $\mathcal{F}$ , такая что $\mu \left(\Phi_{F}^{-1}\left(A_{F} \times \Omega_{F^{c}}\right)\right)=\mu_{F}(A_{F})$ всякий раз, когда $F \subseteq \mathbb {N}$ конечно и $A_{F} \in \mathcal{F}_{F}$ .

Задача 11.2.6

Халмош приводит следующее применение теории этого раздела для полностью нетопологического построения меры Лебега на вещественной прямой. Для каждого $n \in \mathbb {N}$ пусть $\Omega_{n}=\left\{ 0,1\right\}$ , $\mathcal{F}_{n}=2^{\Omega_{n}}$ , и пусть $\mu_{n}(\left\{ 0\right\} )=\mu_{n}(\left\{ 1\right\} )=\frac{1}{2}$ . Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает пространство с произведением мер [для последовательности $\left\{ (\Omega_{n}, \mathcal{F}_{n}, \mu_{n})\right\}_{n=1}^{\infty }$ ], построенное в этом разделе.

?

(a)

Для каждого $\omega =(\omega_{1}, \omega_{2}, \cdots ) \in \Omega$ имеем $\left\{ \omega \right\} \in \mathcal{F}$ и $\mu (\left\{ \omega \right\} )=0$ .

(b)

Множество $\overline{E}$ всех точек $\omega \in \Omega$ , для которых $\omega_{i}=1$ для всех, кроме конечного числа, $i$ , принадлежит $\mathcal{F}$ и имеет $\mu$ -меру нуль.

Рассмотрим теперь пространство с мерой $(\overline{\Omega }, \overline{\mathcal{F}}, \overline{\mu })$ , где $\overline{\Omega }=\Omega -\overline{E}$ , $\overline{\mathcal{F}}$ обозначает $\sigma$ -поле, состоящее из множеств вида $A \cap \overline{\Omega }$ при $A$ , пробегающем $\mathcal{F}$ , и $\overline{\mu }(E \cap \overline{\Omega })=\mu (E)$ для каждого $E \in \mathcal{F}$ .

(c)

Для заданного $\omega \in \overline{\Omega }$ запишем $z(\omega )=\sum_{i=1}^{\infty } \frac{\omega_{i}}{2^{i}}$ . Покажите, что $z$ устанавливает взаимно однозначное соответствие между $\overline{\Omega }$ и $[0,1)$ .

(d)

Пусть $0 \leq a<b \leq 1$ . Пусть $A=\left\{ x: a \leq x<b\right\}$ и $E=\left\{ \omega \in \overline{\Omega }: z(\omega ) \in A\right\}$ . Тогда $E \in \overline{\mathcal{F}}$ и $\overline{\mu }(E)=b-a$ .

(e)

Если $A$ — произвольное борелевское подмножество $[0,1)$ и $E=\left\{ \omega \in \overline{\Omega }: z(\omega ) \in A\right\}$ , то $E \in \overline{\mathcal{F}}$ и $\overline{\mu }(E)$ равно мере Лебега множества $A$ .

(f)

Мера Лебега на $[0,1)$ построена. Рассматривая вещественную прямую как счётное дизъюнктное объединение интервалов $[n, n+1)$ при $n$ , пробегающем $\mathbb {Z}$ , постройте меру Лебега на вещественной прямой.

Построение произведения мер