11.1

Обозначения и соглашения

[5/100%]
Показать
LaTeX
Задача 11.1.1

Пусть Ω1\Omega_{1} обозначает непустое множество, а A\mathcal{A} — непустой набор подмножеств Ω1\Omega_{1}. Пусть Ω2\Omega_{2} обозначает непустое множество, а B\mathfrak {B} — непустой набор подмножеств Ω2\Omega_{2}.

?
(a)

Пусть B⊆Ω2B \subseteq \Omega_{2} непусто. Тогда σΩ1×B(A×{B})=σ(A)×{B}\sigma_{\Omega_{1} \times B}(\mathscr {A} \times \left\{ B\right\} )=\sigma (\mathscr {A}) \times \left\{ B\right\}.

(b)

σ(A×B)=σ(σ(A)×σ(B))\sigma (\mathscr {A} \times \mathscr {B})=\sigma (\sigma (\mathscr {A}) \times \sigma (\mathscr {B})).

Задача 11.1.2

Докажите утверждение в Лемме отождествления для случая, когда PP — двухэлементное множество; именно этот случай мы, по сути, единственно и используем.

?
Примечание.
?

Лемма отождествления: Пусть {Dp}p∈P\left\{ D_{p}\right\}_{p \in P} обозначает дизъюнктное семейство непустых подмножеств II с ⋃p∈PDp=I\bigcup_{p \in P} D_{p}=I. Определим Φ:Ω→×p∈PΩDp\Phi : \Omega \rightarrow \underset {p \in P}{\times } \Omega_{D_{p}} для каждого ω=(ωi)i∈I∈Ω\omega =(\omega_{i})_{i \in I} \in \Omega по правилу Φ(ω)=((ωi)i∈Dp)p∈P\Phi (\omega )=\left((\omega_{i})_{i \in D_{p}}\right)_{p \in P}. Тогда: (a) Φ\Phi инъективно и сюръективно отображает на ×p∈PΩDp\underset {p \in P}{\times } \Omega_{D_{p}}. Пусть F∗\mathcal{F}^{*} обозначает σ\sigma-поле подмножеств ×p∈PΩDp\underset {p \in P}{\times } \Omega_{D_{p}}, порождённое множествами вида ×p∈PADp\underset {p \in P}{\times } A_{D_{p}}, где ADp∈FDpA_{D_{p}} \in \mathcal{F}_{D_{p}} для каждого p∈Pp \in P и ADp≠ΩDpA_{D_{p}} \neq \Omega_{D_{p}} не более чем для конечного числа p∈Pp \in P. (b) Для каждого множества в F\mathcal{F} существует единственное соответствующее множество в F∗\mathcal{F}^{*}, и наоборот; т.е. Φ\Phi устанавливает взаимно однозначное соответствие между F\mathcal{F} и F∗\mathcal{F}^{*}.

Задача 11.1.3

Докажите Лемму отождествления в полной общности для случая, когда PP — произвольное множество.

?
Примечание.
?

Лемма отождествления: Пусть {Dp}p∈P\left\{ D_{p}\right\}_{p \in P} обозначает дизъюнктное семейство непустых подмножеств II с ⋃p∈PDp=I\bigcup_{p \in P} D_{p}=I. Определим Φ:Ω→×p∈PΩDp\Phi : \Omega \rightarrow \underset {p \in P}{\times } \Omega_{D_{p}} для каждого ω=(ωi)i∈I∈Ω\omega =(\omega_{i})_{i \in I} \in \Omega по правилу Φ(ω)=((ωi)i∈Dp)p∈P\Phi (\omega )=\left((\omega_{i})_{i \in D_{p}}\right)_{p \in P}. Тогда: (a) Φ\Phi инъективно и сюръективно отображает на ×p∈PΩDp\underset {p \in P}{\times } \Omega_{D_{p}}. Пусть F∗\mathcal{F}^{*} обозначает σ\sigma-поле подмножеств ×p∈PΩDp\underset {p \in P}{\times } \Omega_{D_{p}}, порождённое множествами вида ×p∈PADp\underset {p \in P}{\times } A_{D_{p}}, где ADp∈FDpA_{D_{p}} \in \mathcal{F}_{D_{p}} для каждого p∈Pp \in P и ADp≠ΩDpA_{D_{p}} \neq \Omega_{D_{p}} не более чем для конечного числа p∈Pp \in P. (b) Для каждого множества в F\mathcal{F} существует единственное соответствующее множество в F∗\mathcal{F}^{*}, и наоборот; т.е. Φ\Phi устанавливает взаимно однозначное соответствие между F\mathcal{F} и F∗\mathcal{F}^{*}.

Задача 11.1.4

Покажите, что EF\mathscr {E}_{F} является полукольцом на ΩF\Omega_{F}.

?
Задача 11.1.5

Пусть A\mathcal{A} обозначает полукольцо на Ω1\Omega_{1}, а B\mathfrak {B} обозначает полукольцо на Ω2\Omega_{2}. Тогда A×B\mathcal{A} \times \mathcal{B} является полукольцом на Ω1×Ω2\Omega_{1} \times \Omega_{2}.

?