Усиленный закон в $L^{2}$

Утверждение 3: Пусть $F \subseteq \mathbb {N}$ непусто и конечно, и для каждого $i \in F$ пусть $f_{i}$ обозначает функцию из $L^{1}(\Omega_{i}, \mathcal{F}_{i}, \mu_{i})$. Пусть $g$ обозначает отображение на $\Omega$, заданное для каждого $\omega \in \Omega$ правилом $\omega \mapsto \prod_{i \in F} f_{i}(\omega_{i})$. Тогда

Усиленный закон больших чисел в $L^{2}$: Для каждого $k \in \mathbb {N}$ пусть $g_{k}$ обозначает функцию из $L^{2}(\Omega_{k}, \mathcal{F}_{k}, \mu_{k})$ такую, что $\int_{\Omega_{k}} g_{k} \, d\mu_{k}=0$. Пусть $f_{k}$ обозначает функцию на $\Omega$, сопоставляющую каждому $\omega \in \Omega$ значение $g_{k}(\omega_{k})$. Предположим, что $\sum_{k=1}^{\infty } \frac{\left\| g_{k}\right\|_{2}^{2}}{k^{2}}$ сходится. Тогда $\lim_{n} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f_{k}(\omega )=0$ для $\mu$-почти всех $\omega \in \Omega$.

Усиленный закон больших чисел в $L^{2}$: Для каждого $k \in \mathbb {N}$ пусть $g_{k}$ обозначает функцию из $L^{2}(\Omega_{k}, \mathcal{F}_{k}, \mu_{k})$ такую, что $\int_{\Omega_{k}} g_{k} \, d\mu_{k}=0$. Пусть $f_{k}$ обозначает функцию на $\Omega$, сопоставляющую каждому $\omega \in \Omega$ значение $g_{k}(\omega_{k})$. Предположим, что $\sum_{k=1}^{\infty } \frac{\left\| g_{k}\right\|_{2}^{2}}{k^{2}}$ сходится. Тогда $\lim_{n} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f_{k}(\omega )=0$ для $\mu$-почти всех $\omega \in \Omega$.

Схема Упражнения 11.2.5: пусть $I=\mathbb {N}$, пусть $\Omega_{i}=\left\{ 0,1\right\}$ для каждого $i \in \mathbb {N}$, и пусть $\mathcal{F}_{i}=2^{\Omega_{i}}$ для каждого $i \in \mathbb {N}$. Для каждого $i \in \mathbb {N}$ пусть $\mu_{i}$ определена на $\mathcal{F}_{i}$ равенствами $\mu_{i}(\left\{ 0\right\} )=\mu_{i}(\left\{ 1\right\} )=\frac{1}{2}$. Пусть $\Omega =\underset {i=1}{\overset {\infty }{\times }} \Omega_{i}$, пусть $\mathcal{F}$ обозначает обычную $\sigma$-алгебру на $\Omega$, и пусть $\mu$ обозначает соответствующую меру произведения. Для каждого $i \in \mathbb {N}$ определим $f_{i}$ на $\Omega$, полагая $f_{i}(\omega )=\omega_{i}-\frac{1}{2}$. Далее, для каждого $n \in \mathbb {N}$ определим $h_{n}=\frac{1}{n}(f_{1}+\cdots +f_{n})$. Пункт (d) Упражнения 11.2.5 показывает, что $h_{n}$ сходится по мере к $0$; пункт (e) интерпретирует этот результат, сопоставляя $0$ и $1$ с выпадением орла или решки соответственно при подбрасывании честной монеты, так что $\frac{1}{n}(\omega_{1}+\cdots +\omega_{n})$ в определённом смысле можно рассматривать как долю решек, полученных в первых $n$ подбрасываниях.