Операторы в псевдоевклидовых, эрмитовых, симплектических пространствах и в пространствах с общим скалярным произведением

Пусть оператор А в некотором базисе имеет матрицу $A$, а скалярное произведение — матрицу $G$. Найти матрицу $A^{\prime }$ сопряженного оператора $\mathbf{A}^{*}$ в этом базисе. Рассмотреть случаи ортонормированных базисов в евклидовом, псевдоевклидовом, эрмитовом и псевдоэрмитовом пространствах и гамильтоновых базисов в симплектическом пространстве.

Оператор А в гамильтоновом базисе двумерного симплектического пространства имеет матрицу $\left(\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -2 & -3\end{smallmatrix}\right)$. Найти матрицу сопряженного оператора A* в том же базисе.

Показать, что для любого оператора А в пространстве со скалярным произведением $\operatorname {Im} \mathbf{A}^{*} = (\operatorname {Ker} A)^{\perp }$ и $\operatorname {Ker} \mathbf{A}^{*} = (\operatorname {Im} \mathbf{A})^{\perp }$.

Показать, что ранг композиции $\mathrm{AA}^{*}$ равен размерности образа ограничения

оператора $\mathbf{A}$ на подпространство $\operatorname {Im} \mathbf{A}^{*}$, а ранг композиции $\mathbf{A}^{*} \mathbf{A}$ равен размерности образа ограничения

оператора $\mathbf{A}^{*}$ на подпространство $\operatorname {Im} \mathbf{A}$.

Показать, что

Построить пример пространства со скалярным произведением и оператора А в нем, для которого имеет место следующее соотношение рангов:

Доказать, что подпространство $L$ линейного пространства со скалярным произведением инвариантно относительно оператора А тогда и только тогда, когда ортогональное дополнение $L^{\perp }$ инвариантно относительно сопряженного оператора $\mathbf{A}^{*}$.

Пусть операторы А и А* в пространстве со скалярным произведением имеют общий неизотропный собственный вектор $x$ с собственными значениями $\lambda$ и $\mu$ соответственно. Доказать, что $\mu = \bar{\lambda }$ (ср. с задачей 1420).

Показать, что оператор $\pi$ является проектором тогда и только тогда, когда таковым является сопряженный оператор $\pi^{*}$. При этом если $\pi$ — проектирование на подпространство $W_{1}$ параллельно подпространству $W_{2}$, то $\pi^{*}$ — проектирование на $W_{2}^{\perp }$ параллельно $W_{1}^{\perp }$.

Пусть $V$ и $W$ — векторные пространства со скалярным произведением одинакового типа и $f: V \rightarrow W$ — некоторое отображение, сохраняющее скалярное произведение. Показать, что $f$ линейно и является изоморфизмом на некоторое подпространство в $W$.

Доказать свойства изометрических операторов:

Доказать, что определитель матрицы оператора, сохраняющего скалярное произведение, по абсолютной величине равен 1.

Показать, что данное подпространство инвариантно относительно оператора, сохраняющего скалярное произведение, тогда и только тогда, когда инвариантно его ортогональное дополнение.

Показать, что оператор в псевдоевклидовом или псевдоэрмитовом пространстве, сохраняющий скалярные квадраты всех векторов (т. е. сохраняющий псевдодлину векторов), является изометрическим.

Пусть в псевдоевклидовом или псевдоэрмитовом пространстве заданы два таких ненулевых вектора $a, b$, что $(a, a) = (b, b)$. Доказать, что найдется сохраняющий скалярное произведение оператор, переводящий $a$ в $b$.

Доказать, что оператор А сохраняет скалярное произведение тогда и только тогда, когда $\mathrm{A}^{*} = \mathrm{A}^{-1}$.

Доказать, что матрица $A$ является матрицей изометрического оператора в ортонормированном базисе псевдоевклидова пространства типа $(p, q)$ тогда и только тогда, когда $A^{\top } P A = P$, где $P-$ диагональная матрица вида:

Такие матрицы $A$ называются псевдоортогональными; они образуют группу относительно умножения (см. задачу 1619), обозначаемую $O(p, q)$.

Доказать, что матрица $A$ является матрицей изометрического оператора в ортонормированном базисе псевдоэрмитова пространства типа $(p, q)$ тогда и только тогда, когда $\bar{A}^{\top } P A = P$, где $P$ — диагональная матрица вида

Такие матрицы $A$ называются псевдоунитарными; они образуют группу относительно умножения (см. задачу 1619), обозначаемую $U(p, q)$.

Доказать, что матрица $A$ является матрицей изометрического оператора в гамильтоновом базисе $2 n$-мерного симплектического пространства тогда и только тогда, когда $A^{t} \Omega A = \Omega$, где

Такие матрицы называются симплектическими; они образуют группу относительно умножения (см. задачу 1619), обозначаемую $S p(2 n)$.

Пусть оператор А в некотором базисе имеет матрицу $A$, а скалярное произведение — матрицу $G$. Найти условие на матрицу $A$, необходимое и достаточное для того, чтобы оператор А сохранял скалярное произведение.

Доказать, что любая псевдоортогональная матрица типа $(1,1)$ (см. задачу 1625) имеет вид

(параметризация Лоренца группы $O(1,1)$).

Доказать, что любая псевдоортогональная матрица типа $(1,1)$ (см. задачу 1625) имеет вид

(гиперболические повороты).

Доказать, что оператор А в двумерном симплектическом пространстве является симплектическим (сохраняет скалярное произведение) тогда и только тогда, когда его определитель равен 1.

Пусть оператор А в симплектическом пространстве в некотором гамильтоновом базисе имеет матрицу $A = \left(\begin{smallmatrix} A_{1} & A_{2} \\ A_{3} & A_{4}\end{smallmatrix}\right)$, где $A_{i}$ — матрицы размера $m \times m$. Доказать, что оператор А является симплектическим (сохраняет скалярное произведение) тогда и только тогда, когда выполнены следующие равенства:

(ср. с предыдущей задачей).

Пусть $V$ — комплексное пространство с эрмитовым скалярным произведением $(a, b) = \operatorname {Re}(a, b)+i \operatorname {Im}(a, b)$ типа $(p, q)$ и $e_{1}, \ldots \ldots , e_{n}$ — некоторый ортонормированный базис в нем. Показать, что овеществленное пространство $V_{\mathbb {R}}$ является одновременно псевдоевклидовым типа $(2 p, 2 q$) относительно скалярного произведения $\operatorname {Re}(a, b)$ и симплектическим относительно скалярного произведения $\operatorname {Im}(a, b)$. При этом базис $e_{1}, \ldots , e_{n}, i e_{1}, \ldots , i e_{n}$ является соответственно ортонормированным и гамильтоновым относительно введенных скалярных произведений.

Доказать, что овеществление унитарного (псевдоунитарного) оператора является одновременно ортогональным (псевдоортогональным) и симплектическим оператором относительно скалярных произведений из предыдущей задачи. Таким образом, овеществленная унитарная (псевдоунитарная) матрица является одновременно ортогональной (псевдоортогональной) и симплектической.

Пусть $V_{\mathbb {R}}$ — овеществление некоторого комплексного псевдоэрмитова пространства $V$. Доказать, что если вещественный оператор А в пространстве $V_{\mathbb {R}}$ сохраняет псевдоевклидово скалярное произведение $\operatorname {Re}(a, b)$ и симплектическое скалярное произведение $\operatorname {Im}(a, b)$ (см. задачу 1633), то он является овеществлением некоторого псевдоэрмитова оператора в пространстве $V$. Таким образом, $U(p, q) = O(2 p, 2 q) \cap S p(2 n)$, в частности $U(n) = O(2 n) \cap S p(2 n)$.

Доказать, что если овеществление $\mathbf{A}_{\mathbb {R}}$ некоторого оператора А в комплексном эрмитовом пространстве является ортогональным оператором относительно евклидова скалярного произведения $\operatorname {Re}(a, b)$ (см. задачу 1633), то оператор А является унитарным. Таким образом, $U(n) = G L(n, \mathbb {C}) \cap O(2 n)$.

Доказать, что если овеществление $\mathbf{A}_{\mathbb {R}}$ некоторого оператора А в эрмитовом пространстве является симплектическим оператором относительно скалярного произведения $\operatorname {Im}(a, b)$ (см. задачу 1633), то оператор А является унитарным. Таким образом,

Доказать, что определитель любой симплектической матрицы $A$ (см. задачу 1627) равен 1.

Показать, что оператор А сохраняет скалярное произведение тогда и только тогда, когда этим свойством обладает сопряженный оператор A*.

Пусть А: $V \rightarrow W$ — линейное отображение пространств со скалярным произведением. Показать, что А сохраняет скалярное произведение тогда и только тогда, когда $\mathbf{A}^{*} \mathbf{A} = \mathrm{Id}$ — тождественный изоморфизм (здесь $\mathbf{A}^{*}: W \rightarrow V$ — сопряженное линейное отображение; см. задачу 1426). В частности, если $\operatorname {dim} W = \operatorname {dim} V$, то $\mathbf{A}^{*} = \mathbf{A}^{-1}$.

Пусть оператор А в некотором базисе имеет матрицу $A$, а скалярное произведение — матрицу $G$. Найти условие на матрицу $A$, необходимое и достаточное для того, чтобы оператор А являлся самосопряженным. Рассмотреть отдельно случаи ортонормированных базисов в евклидовом, эрмитовом, псевдоевклидовом и псевдоэрмитовом пространствах и случай гамильтонова базиса в симплектическом пространстве.

Показать, что для любого отображения $\mathbf{A}: V \rightarrow W$ пространств со скалярными произведениями композиции $\mathbf{A A}^{*}$ и $\mathbf{A}^{*} \mathbf{A}$ (см. задачу 1426) являются самосопряженными операторами в $W$ и $V$ соответственно.

Показать, что оператор, подобный самосопряженному, не обязательно самосопряжен.

Показать, что если оператор U изометрический, а A-самосопряженный, то оператор $\mathrm{U}^{-1} \mathrm{AU}$ также является самосопряженным (т.е. оператор, изометрически подобный самосопряженному, самосопряжен).

Показать, что для любого оператора А в евклидовом или эрмитовом пространстве самосопряженные операторы $\mathbf{A}^{*} \mathbf{A}$ и $\mathbf{A A}^{*}$ подобны. В произвольном пространстве со скалярным произведением операторы А* А и АА* подобны, если оператор А невырожден. Показать, что условие невырожденности в последнем утверждении существенно.

Показать, что проектор $\pi$ на подпространство $W_{1}$ параллельно подпространству $W_{2}$ является самосопряженным тогда и только тогда, когда подпространства $W_{1}$ и $W_{2}$ ортогональны.

Показать, что собственные значения самосопряженного оператора в псевдоэрмитовом пространстве, для которых соответствующие собственные векторы неизотропны, вещественны (ср. с задачей 1616). Для изотропных собственных векторов это может быть не выполнено (привести пример).

Показать, что неизотропные собственные векторы самосопряженного оператора в псевдоэрмитовом пространстве, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Для изотропных собственных векторов это может быть не выполнено (привести пример).

Верно ли, что в псевдоэрмитовом пространстве самосопряженный оператор имеет ортонормированный базис из собственных векторов?

Пусть А- самосопряженный оператор в произвольном пространстве со скалярным произведением, а $V$ — инвариантное подпространство относительно А. Доказать, что ортогональное дополнение $V^{\perp }$ также инвариантно (ср. с задачей 1615).

Показать, что для самосопряженного оператора А в произвольном пространстве со скалярным произведением выполнено $\operatorname {Im} \mathbf{A} = (\operatorname {Ker} \mathbf{A})^{\perp }$ и $\operatorname {Ker} \mathbf{A} = (\operatorname {Im} \mathbf{A})^{\perp }$.

Построить пример самосопряженного оператора в псевдоевклидовом пространстве, все корни характеристического многочлена которого вещественны, но который при этом не диагонализируем.

Показать, что самосопряженный оператор, сохраняющий скалярное произведение, диагонализируем в некотором ортонормированном базисе с числами 1 и -1 на диагонали.

Показать, что самосопряженный оператор А, для которого $\mathrm{A}^{2} = \mathrm{E}$ — тождественный оператор, сохраняет скалярное произведение.

Показать, что если оператор А, удовлетворяющий условию $\mathrm{A}^{2} = \mathrm{E}$, сохраняет скалярное произведение, то он самосопряжен.

Показать, что определитель матрицы самосопряженного оператора в псевдоэрмитовом (в частности, эрмитовом) пространстве — вещественное число.

Показать, что определитель матрицы косоэрмитова оператора, действующего в псевдоэрмитовом пространстве размерности $n$, есть чисто мнимое число (или 0), если $n$ — нечетно, и действительное число, если $n$ — четно.

Сопоставление оператору А функции $\varphi (x, y) = (x$, А $y)$ устанавливает изоморфизм пространства операторов пространству билинейных (или полуторалинейных) функций. Показать, что при этом изоморфизме:

Доказать, что оператор А в симплектическом пространстве является самосопряженным тогда и только тогда, когда для любого вектора $x$ векторы $\mathrm{A} x$ и $x$ ортогональны.