Самосопряженные (симметрические, эрмитовы) и кососимметрические (косоэрмитовы) операторы

Пусть оператор А в некотором базисе имеет матрицу $A$, а скалярное произведение — матрицу $G$. Найти условие на матрицу $A$, необходимое и достаточное для того, чтобы оператор А являлся самосопряженным. Рассмотреть отдельно случаи ортонормированных базисов в евклидовом, эрмитовом, псевдоевклидовом и псевдоэрмитовом пространствах и случай гамильтонова базиса в симплектическом пространстве.

Показать, что для любого отображения $\mathbf{A}: V \rightarrow W$ пространств со скалярными произведениями композиции $\mathbf{A A}^{*}$ и $\mathbf{A}^{*} \mathbf{A}$ (см. задачу 1426) являются самосопряженными операторами в $W$ и $V$ соответственно.

Показать, что оператор, подобный самосопряженному, не обязательно самосопряжен.

Показать, что если оператор U изометрический, а A-самосопряженный, то оператор $\mathrm{U}^{-1} \mathrm{AU}$ также является самосопряженным (т.е. оператор, изометрически подобный самосопряженному, самосопряжен).

Показать, что для любого оператора А в евклидовом или эрмитовом пространстве самосопряженные операторы $\mathbf{A}^{*} \mathbf{A}$ и $\mathbf{A A}^{*}$ подобны. В произвольном пространстве со скалярным произведением операторы А* А и АА* подобны, если оператор А невырожден. Показать, что условие невырожденности в последнем утверждении существенно.

Показать, что проектор $\pi$ на подпространство $W_{1}$ параллельно подпространству $W_{2}$ является самосопряженным тогда и только тогда, когда подпространства $W_{1}$ и $W_{2}$ ортогональны.

Показать, что собственные значения самосопряженного оператора в псевдоэрмитовом пространстве, для которых соответствующие собственные векторы неизотропны, вещественны (ср. с задачей 1616). Для изотропных собственных векторов это может быть не выполнено (привести пример).

Показать, что неизотропные собственные векторы самосопряженного оператора в псевдоэрмитовом пространстве, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Для изотропных собственных векторов это может быть не выполнено (привести пример).

Верно ли, что в псевдоэрмитовом пространстве самосопряженный оператор имеет ортонормированный базис из собственных векторов?

Пусть А- самосопряженный оператор в произвольном пространстве со скалярным произведением, а $V$ — инвариантное подпространство относительно А. Доказать, что ортогональное дополнение $V^{\perp }$ также инвариантно (ср. с задачей 1615).

Показать, что для самосопряженного оператора А в произвольном пространстве со скалярным произведением выполнено $\operatorname {Im} \mathbf{A} = (\operatorname {Ker} \mathbf{A})^{\perp }$ и $\operatorname {Ker} \mathbf{A} = (\operatorname {Im} \mathbf{A})^{\perp }$.

Построить пример самосопряженного оператора в псевдоевклидовом пространстве, все корни характеристического многочлена которого вещественны, но который при этом не диагонализируем.

Показать, что самосопряженный оператор, сохраняющий скалярное произведение, диагонализируем в некотором ортонормированном базисе с числами 1 и -1 на диагонали.

Показать, что самосопряженный оператор А, для которого $\mathrm{A}^{2} = \mathrm{E}$ — тождественный оператор, сохраняет скалярное произведение.

Показать, что если оператор А, удовлетворяющий условию $\mathrm{A}^{2} = \mathrm{E}$, сохраняет скалярное произведение, то он самосопряжен.

Показать, что определитель матрицы самосопряженного оператора в псевдоэрмитовом (в частности, эрмитовом) пространстве — вещественное число.

Показать, что определитель матрицы косоэрмитова оператора, действующего в псевдоэрмитовом пространстве размерности $n$, есть чисто мнимое число (или 0), если $n$ — нечетно, и действительное число, если $n$ — четно.

Сопоставление оператору А функции $\varphi (x, y) = (x$, А $y)$ устанавливает изоморфизм пространства операторов пространству билинейных (или полуторалинейных) функций. Показать, что при этом изоморфизме:

Доказать, что оператор А в симплектическом пространстве является самосопряженным тогда и только тогда, когда для любого вектора $x$ векторы $\mathrm{A} x$ и $x$ ортогональны.