Сопряженные операторы

Пусть оператор А в некотором базисе имеет матрицу $A$, а скалярное произведение — матрицу $G$. Найти матрицу $A^{\prime }$ сопряженного оператора $\mathbf{A}^{*}$ в этом базисе. Рассмотреть случаи ортонормированных базисов в евклидовом, псевдоевклидовом, эрмитовом и псевдоэрмитовом пространствах и гамильтоновых базисов в симплектическом пространстве.

Оператор А в гамильтоновом базисе двумерного симплектического пространства имеет матрицу $\left(\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -2 & -3\end{smallmatrix}\right)$. Найти матрицу сопряженного оператора A* в том же базисе.

Показать, что для любого оператора А в пространстве со скалярным произведением $\operatorname {Im} \mathbf{A}^{*} = (\operatorname {Ker} A)^{\perp }$ и $\operatorname {Ker} \mathbf{A}^{*} = (\operatorname {Im} \mathbf{A})^{\perp }$.

Показать, что ранг композиции $\mathrm{AA}^{*}$ равен размерности образа ограничения

оператора $\mathbf{A}$ на подпространство $\operatorname {Im} \mathbf{A}^{*}$, а ранг композиции $\mathbf{A}^{*} \mathbf{A}$ равен размерности образа ограничения

оператора $\mathbf{A}^{*}$ на подпространство $\operatorname {Im} \mathbf{A}$.

Показать, что

Построить пример пространства со скалярным произведением и оператора А в нем, для которого имеет место следующее соотношение рангов:

Доказать, что подпространство $L$ линейного пространства со скалярным произведением инвариантно относительно оператора А тогда и только тогда, когда ортогональное дополнение $L^{\perp }$ инвариантно относительно сопряженного оператора $\mathbf{A}^{*}$.

Пусть операторы А и А* в пространстве со скалярным произведением имеют общий неизотропный собственный вектор $x$ с собственными значениями $\lambda$ и $\mu$ соответственно. Доказать, что $\mu = \bar{\lambda }$ (ср. с задачей 1420).

Показать, что оператор $\pi$ является проектором тогда и только тогда, когда таковым является сопряженный оператор $\pi^{*}$. При этом если $\pi$ — проектирование на подпространство $W_{1}$ параллельно подпространству $W_{2}$, то $\pi^{*}$ — проектирование на $W_{2}^{\perp }$ параллельно $W_{1}^{\perp }$.