Поверхности второго порядка

Составить уравнение сферы, проходящей через окружность

и касающейся плоскости $x+y+z-5 = 0$.

Найти центр $C$ и радиус $r$ сферы, проходящей через начало координат и линию пересечения сфер $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x-6 y-2 z + 5 = 0$ и $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x-4 y+2 z-10 = 0$.

Найти уравнение сферы радиусом 3, касающейся плоскости $x-2 y+2 z = 4$ в точке $(0,-1,1)$.

Написать уравнение кругового конуса, вершина которого находится в начале координат, ось совпадает с осью $O z$, а угол между осью и образующей конуса равен $\gamma$.

Написать уравнение кругового конуса, вершина которого находится в точке $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$, ось параллельна вектору $(a, b, c)$, а образующие составляют с осью угол $\varphi$.

Составить уравнение кругового конуса, вершина которого находится в точке $(1,2,3)$, направляющий вектор оси $(2,2,-1)$, а угол образующих конуса с осью равен $\pi / 6$.

Написать уравнение кругового конуса, касающегося плоскостей $O x z$ и $O y z$ по прямым $O x$ и $O y$.

Написать уравнение кругового конуса, для которого оси $O x$ и $О$ являются образующими, а ось $O z$ составляет с осью конуса, проходящей в первом и седьмом октантах, угол $\pi / 4$. Написать также каноническое уравнение этого конуса.

Составить уравнение кругового конуса при условии, что все три оси координат служат образующими конуса, а ось конуса проходит в первом и седьмом октантах.

Составить уравнение кругового конуса, касающегося трех плоскостей координат, зная, что его ось проходит в первом и седьмом октантах.

Составить уравнение конуса, описанного около сферы с центром в точке $(0,4,1)$ и радиусом 6, при условии, что вершина конуса находится в точке $(8,0,0)$.

Написать уравнение конуса, проходящего через прямые $y = \pm x, z = 0$ и точку $(1,2,3)$, для которого ось $O z$ является осью симметрии.

Написать уравнение конуса с вершиной в точке $(0,0, a)$, направляющей которого служит гипербола $2 x y = a^{2}, z = 0$. Пользуясь преобразованием прямоугольных координат, привести полученное уравнение конуса к каноническому виду.

Написать уравнение конуса с вершиной в точке $(0,0, p)$, направляющей которого служит парабола $y^{2} = 2 p x, z = 0$. Пользуясь преобразованием прямоугольных координат, привести полученное уравнение к каноническому виду.

Написать уравнение конуса, вершина которого находится в точке $(0,0,0)$, а направляющей служит гипербола $x^{2}-\frac{y^{2}}{4} = 1, z = 3$.

Написать уравнение конуса с вершиной в начале координат, направляющей которого служит эллипс

Написать уравнение конуса, вершина которого находится в точке $(1,1,1)$, а направляющей служит парабола $y^{2} = 2 x, z = 0$.

Написать уравнение круглого цилиндра радиусом $r$, осью которого является прямая

Составить уравнение круглого цилиндра, проходящего через точку $(1,-2,1)$, осью которого служит прямая

Составить уравнение цилиндра, образующие которого касаются сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1$ и составляют равные углы с осями координат.

Написать уравнение параболического цилиндра с параметром $p = 2 / 3$, зная вершину $O^{\prime }(2,1,-1)$ параболы, получающейся при пересечении цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его образующим, направляющий вектор $\mathbf{e}_{1}^{\prime } = (2 / 3,2 / 3,1 / 3)$ оси этой параболы и направляющий вектор $\mathbf{e}_{2}^{\prime } = (2 / 3,-1 / 3,-2 / 3)$ касательной в ее вершине.

Написать уравнение цилиндра, направляющей которого служит окружность $x^{2}+y^{2} = 1, z = 0$, а образующие составляют с осями координат равные углы.

Направляющей цилиндра служит окружность $x^{2}+y^{2} = r^{2}$, $z = 0$, его образующие параллельны вектору $(0, \beta , \gamma )$. Написать уравнение этого цилиндра и привести его к каноническому виду, пользуясь преобразованием прямоугольных координат.

Написать уравнение гиперболического цилиндра с направляющей $x^{2}-\frac{y^{2}}{4} = 1, z = 3$ и образующей, параллельной вектору $(1,1,1)$.

Написать уравнение параболического цилиндра, образующая которого параллельна вектору $(1,1,1)$, а направляющей служит парабола $y^{2} = 2 x, z = 0$.

Написать уравнение гиперболического цилиндра с асимптотическими плоскостями $x+y-z = 1,2 x-y+z = 2$, проходящего через точку $(1,-1,2)$.

Эллипс с полуосями $a$ и $b, a > b$, вращается вокруг своей большой оси, совпадающей с осью $O z$, так, что центр эллипса совпадает с началом координат. Составить уравнение поверхности, описываемой эллипсом при его вращении.

Гипербола с полуосями $a$ и $b$ вращается вокруг своей действительной оси, совпадающей с осью $O z$, причем центр гиперболы совпадает с началом координат. Составить уравнение поверхности, описываемой гиперболой при ее вращении.

Гипербола с полуосями $a$ и $b$ вращается вокруг своей мнимой оси, совпадающей с осью $\mathrm{Oz}$, причем центр гиперболы совпадает с началом координат. Составить уравнение поверхности, описываемой гиперболой при ее вращении.

Парабола с параметром $p$ вращается вокруг своей оси, совпадающей с осью $O z$. Вершина параболы совпадает с началом координат. Составить уравнение поверхности, описываемой параболой.

В плоскости $O x z$ дана парабола $x^{2} = 2 p z, y = 0$. По ней перемещается вершина другой параболы с параметром $q$, плоскость которой остается все время параллельной плоскости $O y z$, а ось — параллельной оси $O z$. Составить уравнение поверхности, описываемой подвижной параболой.

Вокруг оси $O z$ вращается скрещивающаяся с ней прямая. Угол этой прямой с осью $O z$ остается постоянным и равным $\gamma$; общий перпендикуляр к оси $O z$ и этой прямой также сохраняет постоянную величину $r$ и находится все время в плоскости $O x y$. Составить уравнение поверхности, описываемой вращающейся прямой.

Написать уравнение конуса с вершиной $(2,3,6)$, зная, что плоскость Oxy пересекает его по эллипсу, оси которого параллельны осям $O x$ и $O y$, причем эллипс касается этих осей координат, а ось самого конуса параллельна оси $O z$.

Написать уравнение параболоида вращения с параметром $p = 1 / 3$, вершиной $(1,0,-1)$ и направляющим вектором оси вращения $(2 / 3,1 / 3,-2 / 3)$.

Написать уравнение параболоида вращения с параметром $p$, вершиной в точке $O^{\prime }\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ и направляющим вектором оси $\mathbf{u} = (a, b, c)$.

Эллипс с полуосями $a$ и $b, a > b$, центром в точке $O^{\prime }\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ и направляющим вектором большой оси $\mathbf{u} = (\alpha , \beta , \gamma )$ вращается около своей большой оси. Написать уравнение полученного эллипсоида вращения.

Написать уравнение эллипсоида с вершинами $(0,0,6)$ и $(0,0,-2)$, зная, что плоскость $O x y$ пересекает его по окружности радиусом 3.

Написать уравнение двуполостного гиперболоида с вершинами $(0,0, \pm 6)$, зная, что плоскости $O x z$ и $O y z$ являются его плоскостями симметрии и пересекают его по гиперболам, асимптоты которых образуют с осью $O z$ углы, соответственно равные $\pi / 6$ и $\pi / 3$.

Написать уравнение эллиптического параболоида с вершиной $(2,3,6$) и осью, параллельной оси $O z$, зная, что плоскость $O x y$ пересекает его по эллипсу, оси которого параллельны осям $O x$ и $O y$, причем эллипс касается этих осей координат.

Составить уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат, если известно, что он содержит окружность

и точку $(3,1,1)$.

Написать уравнение однополостного гиперболоида с равными полуосями, проходящего через прямые $y = \pm x, z = 0$ и точку $(1,2,3)$, для которого ось $O z$ является осью симметрии.

Написать уравнение поверхности второго порядка, проходящей через три окружности:

и привести полученное уравнение к каноническому виду.

Найти центр и радиус окружности

Написать уравнения плоскостей, проходящих через прямую

и касающихся сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-4 y-6 z-67 = 0$.

Составить уравнение сферы, проходящей через окружность

и через начало координат.

Доказать, что линия пересечения двух параболических цилиндров $y^{2} = x, z^{2} = 1-x$ лежит на круглом цилиндре. Каково уравнение этого цилиндра?

Доказать, что параболоид вращения и круглый цилиндр, оси которых параллельны, пересекаются по эллипсу, большая ось которого лежит в плоскости, проходящей через оси данных поверхностей.

По какой линии пересекаются однополостный гиперболоид $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1, a > b$, и сфера $x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}$?

Доказать, что линия пересечения параболического цилиндра $z^{2} = x+y$ с параболоидом вращения $x^{2}+y^{2} = z$ лежит на сфере. Найти центр и радиус этой сферы.

По какой линии пересекаются эллиптический параболоид $\frac{x^{2}}{p}+\frac{y^{2}}{q} = 2 z, p > q > 0$, и сфера $x^{2}+y^{2}+z^{2} = 2 p z$?

Доказать, что ортогональная проекция любого плоского сечения параболоида вращения на плоскость, перпендикулярную оси параболоида, есть окружность или прямая.

По какой линии пересекаются два эллипсоида

Найти линию пересечения поверхностей $x^{2}+y^{2}-z^{2} = a^{2}$, $x^{2}-y^{2} = 2 a z$.

Найти острый угол между образующими конуса $x^{2}+y^{2}- -z^{2} = 0$, по которым его пересекает плоскость $5 x+10 y-11 z = 0$.

Определить вид и расположение линии пересечения плоскости $x = 9$ и гиперболоида

Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости $O y z$ и пересекающей однополостный гиперболоид

по гиперболе, действительная полуось которой равна 1.

Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы плоскость $z = a x+b y+c$ пересекала параболоид вращения $x^{2}+y^{2} = 2 p z(p > 0)$ по действительному эллипсу.

По какой линии пересекаются гиперболический параболоид

и плоскость $2 x+3 y-6 = 0$?

Составить уравнение поверхности второго порядка, зная, что она пересекает плоскость $O x y$ по окружности $x^{2}+y^{2}-12 x- -18 y+32 = 0, z = 0$, а плоскости $O x z$ и $O y z$ — по параболам, оси которых параллельны положительному направлению оси $O z$, причем параметр параболы, лежащей в плоскости $O x z$, равен 1.

Написать уравнение поверхности второго порядка, пересекающей плоскость $O x y$ по параболе, а плоскости $O x z$ и $O y z$ — по окружностям радиусом $r$, касающимся положительных полуосей координат. Пользуясь преобразованием прямоугольных координат, привести уравнение к каноническому виду.

Найти геометрическое место фокусов гипербол, получающихся при пересечении гиперболического параболоида

плоскостями, параллельными плоскости Oxy.

Составить уравнение поверхности второго порядка, проходящей через точки $(0,0,0),(1,1,-1),(0,0,1)$, для которой плоскости

являются плоскостями симметрии. Написать каноническое уравнение этой поверхности и указать ее тип.

Составить уравнение поверхности второго порядка, для которой плоскости

являются плоскостями симметрии и которая проходит через точки $(1,0,0),(0,-1,0),(1,1,-1)$.

Найти тип поверхности, состоящей из прямых, по которым пересекаются взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через две данные прямые, в зависимости от взаимного расположения последних.

Найти геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных скрещивающихся прямых есть одно и то же число $k$.

Определить вид поверхности и ее расположение относительно начальной системы координат, пользуясь преобразованием левой части ее уравнения:

Определить вид и расположение поверхности, пользуясь переносом системы координат:

Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат, пользуясь поворотом системы координат вокруг одной из ее осей:

Доказать, что каждая из следующих поверхностей является поверхностью вращения, определить ее вид, написать каноническое уравнение и найти расположение поверхности относительно исходной системы координат:

Определить вид каждой из следующих поверхностей, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат:

Определить аффинный тип поверхности с помощью метода Лагранжа (система координат аффинная):

С помощью инвариантов

найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы поверхность второго порядка, заданная общим уравнением

была:

(Ортогональные полуинварианты). Доказать, что:

С помощью инвариантов $I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}$ и полуинвариантов $I_{2}^{*}, I_{3}^{*}$ найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы поверхность второго порядка, заданная общим уравнением, была:

Не производя замен координат, составить канонические уравнения поверхностей:

Найти наибольший угол $\varphi$ между образующими конуса $z^{2} + 2 x y+2 x z+2 y z = 0$, а также углы $\alpha , \beta , \gamma$, которые составляет его ось с осями координат.

Выразить с помощью инвариантов условия, необходимые и достаточные для того, чтобы общее уравнение второй степени определяло параболоид вращения, и найти его параметр.

С помощью инвариантов выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы общее уравнение второй степени определяло гиперболический параболоид с равными параметрами главных сечений, и найти эти параметры.

С помощью инвариантов найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы общее уравнение второй степени с тремя неизвестными определяло однополостный или двуполостный гиперболоиды с равными полуосями.

Пользуясь инвариантами, написать каноническое уравнение этих гиперболоидов.

Дана поверхность второго порядка

Доказать, что при всех значениях параметра $a$ эта поверхность является поверхностью вращения; найти направляющий вектор ее оси вращения.

Для каких значений параметра $a$ поверхность будет эллипсоидом?

Определить $k$ так, чтобы поверхность $x^{2}-2 x y+k z^{2} = 0$ была конусом вращения, и найти ось вращения.

Составить уравнение конуса второго порядка, пересекающего плоскость $O y z$ по окружности $y^{2}+z^{2} = 2 r y, x = 0$, а плоскость $O x z$ — по параболе $z^{2} = 2 p x, y = 0$.

Составить уравнение конуса второго порядка, на котором лежат окружности

Составить уравнение поверхности второго порядка, пересекающей координатные плоскости по гиперболам

Определить вид этой поверхности. Привести ее уравнение к каноническому виду при $a = b = c = 1$.

Составить уравнение параболоида, проходящего через прямые $x = 0, z = 2$ и $y = 0, z = -2$ и через две точки $(0,1,-1),(1,-1,0)$.

Доказать, что сумма чисел, обратных квадратам длин трех любых попарно перпендикулярных радиусов эллипсоида

постоянна и равна

Доказать, что все плоскости, проходящие через концы трех попарно перпендикулярных радиусов эллипсоида, касаются сферы, вписанной в куб, вписанный в эллипсоид.

Доказать, что геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из центра эллипсоида на плоскости, проходящие через концы трех попарно перпендикулярных диаметров эллипсоида, — это сфера, вписанная в куб, который, в свою очередь, вписан в данный эллипсоид.

Найти геометрическое место вершин прямого трехгранного угла, стороны которого касаются эллипсоида

Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы нераспадающаяся поверхность второго порядка

касалась плоскости $O x y$ в начале координат.

Доказать, что касательная плоскость к поверхности второго порядка всегда пересекает поверхность по паре прямых (действительных, мнимых или совпадающих).

Написать уравнение касательной плоскости к эллипсоиду

проходящей через точку $(12,-3,-1)$ и параллельной оси $O z$.

Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

и касающейся эллипсоида