Касательные и диаметральные плоскости. Прямолинейные образующие

Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы нераспадающаяся поверхность второго порядка

касалась плоскости $O x y$ в начале координат.

Доказать, что касательная плоскость к поверхности второго порядка всегда пересекает поверхность по паре прямых (действительных, мнимых или совпадающих).

Написать уравнение касательной плоскости к эллипсоиду

проходящей через точку $(12,-3,-1)$ и параллельной оси $O z$.

Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

и касающейся эллипсоида

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

и касающейся гиперболического параболоида

Составить уравнение касательной плоскости к поверхности

проходящей через прямую $4 x-5 y = 0, z-1 = 0$.

Найти касательную плоскость к поверхности

параллельную плоскости $x+2 y+2 = 0$.

Найти касательную плоскость к однополостному гиперболоиду

отсекающую на осях $O x$ и $O y$ отрезки, соответственно равные $a$ и $b$, и найти прямые, по которым эта плоскость пересекает гиперболоид.

Написать уравнение касательной плоскости к эллиптическому параболоиду

отсекающей на осях $O x$ и $O y$ отрезки, соответственно равные $p$ и $q$.

Даны гиперболический параболоид

и плоскость $2 x+3 y-z = 0$. Написать уравнение плоскости, параллельной данной и пересекающей параболоид по паре прямых; найти эти прямые.

Найти точку пересечения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида $x^{2}+y^{2}-z^{2} = 1$, по которым его пересекает плоскость, параллельная плоскости $x+y-z = 0$, и определить угол между этими образующими.

Найти точку пересечения прямолинейных образующих гиперболического параболоида $x^{2}-y^{2} = 2 z$, по которым его пересекает плоскость, параллельная плоскости $x-y+z+1 = 0$, и определить угол между этими образующими.

Найти угол $\varphi$ между прямолинейными образующими однополостного гиперболоида

проходящими через точку $(1,4,8)$, беря на этих образующих лучи, направленные от данной точки к горловому эллипсу.

Дан однополостный гиперболоид

Через его образующую

и точку $(0,3,0)$ проведена плоскость. Найти вторую прямую линии пересечения этой плоскости с гиперболоидом.

Доказать, что ортогональные проекции прямолинейных образующих однополостного гиперболоида

и гиперболического параболоида

на плоскости координат касаются сечений этих поверхностей координатными плоскостями (для гиперболического параболоида рассматриваются только проекции на плоскости $O y z$ и $O x z$).

Найти прямолинейные образующие поверхности

проходящие через точку $(-1,-1,1)$.

Дан гиперболический параболоид

Через его образующую

и точку $(1,1,1)$ проведена плоскость. Найти вторую прямую линии пересечения параболоида с этой плоскостью.

Доказать, что если уравнение

определяет параболоид, то уравнение

является уравнением касательной плоскости к этому параболоиду.

Найти направляющие векторы прямолинейных образующих гиперболического параболоида

проходящих через точку $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ параболоида.

Найти геометрическое место точек, лежащих на гиперболическом параболоиде

через каждую из которых проходят две взаимно перпендикулярные образующие.

Написать уравнение поверхности второго порядка, содержащей три прямые:

При каком необходимом и достаточном условии плоскость $A x+B y+C z+D = 0$ касается невырожденной поверхности второго порядка

Доказать, что любая плоскость пересекает любой однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид и конус второго порядка.

При каком необходимом и достаточном условии плоскость $A x+B y+C z+D = 0$ пересекает следующие поверхности:

При каком необходимом и достаточном условии плоскость $A x+B y+C z+D = 0$ касается следующих поверхностей:

Написать уравнение поверхности второго порядка, проходящей через точку $(0,0,1)$, имеющей центр в точке $(0,0,-1)$ и пересекающей плоскость $O x y$ по линии $3 x^{2}-4 x y-3 = 0, z = 0$.

Даны однополостный гиперболоид

и плоскость $6 x+4 y-3 z-12 = 0$. Определить направление хорд, которым сопряжена диаметральная плоскость, параллельная данной плоскости.

Написать уравнение диаметральной плоскости гиперболического параболоида

проходящей через прямую $x = y, z = 1$, и найти направление тех хорд, которым сопряжена эта плоскость.

Даны эллиптический параболоид

и две точки $(3,0,5)$ и $(0,4,7)$. Написать уравнение диаметральной плоскости параболоида, проходящей через данные точки, и определить направление сопряженных ей хорд.

Даны параболоид вращения $x^{2}+y^{2} = 2 p z$ и круглый цилиндр $(x-a)^{2}+z^{2} = r^{2}$. Написать уравнение плоскости, которая была бы диаметральной плоскостью как для параболоида, так и для цилиндра.

Написать уравнение плоскости, пересекающей однополостный гиперболоид

по линии, центр которой находится в точке $(6,6,5)$.

Доказать, что если три некомпланарные хорды поверхности второго порядка проходят через одну точку и делятся ею пополам, то эта точка является центром поверхности.

Доказать, что если за ось $O z$ принять произвольную прямую, не имеющую асимптотического направления поверхности второго порядка, а за плоскость Oxy — диаметральную плоскость, сопряженную направлению этой прямой, то в уравнении поверхности будут отсутствовать члены с произведениями $x z$ и $y z$.

Как запишется уравнение однополостного гиперболоида, если за начало координат принять точку поверхности, за оси $O x$ и $O y$ — проходящие через нее прямолинейные образующие, а за ось $\mathrm{Oz}$ — проходящий через нее диаметр?

Доказать, что каждая плоскость, параллельная оси симметрии эллиптического параболоида, является диаметральной плоскостью, сопряженной к однозначно определенному неасимптотическому направлению. Верно ли это для гиперболического параболоида?

Написать уравнение гиперболического параболоида, принимая за начало координат произвольную точку $O$ поверхности, за оси $O x$ и $O y$ — прямолинейные образующие, проходящие через эту точку, за ось $O z$ — проходящий через нее диаметр, а за единичную точку $E$ — произвольную точку поверхности, отличную от точки $O$.

Написать уравнение конуса второго порядка, принимая за оси $O x$ и $O y$ его образующие, за ось $O z$ — прямую, сопряженную плоскости, проходящей через эти образующие, а за единичную точку $E$ — произвольную точку конуса, отличную от его вершины.

Как запишется уравнение поверхности второго порядка, если за начало координат принять точку $O$ поверхности, за ось $\mathrm{Oz}$ — проходящий через эту точку диаметр, а за оси $O x$ и $O y$ — прямые, лежащие в касательной плоскости и имеющие сопряженные направления относительно данной поверхности?

Написать уравнение эллипсоида, принимая за начало координат его центр, за оси координат — попарно сопряженные диаметры, а за единичные точки осей координат — точки пересечения этих диаметров с эллипсоидом.

Две плоскости, каждая из которых параллельна направлению, сопряженному другой относительно поверхности второго порядка, называются сопряженными относительно этой поверхности. Найти необходимое и достаточное условие того, что две плоскости

сопряжены относительно поверхности второго порядка