Простейшие свойства поверхностей второго порядка

Найти центр и радиус окружности

Написать уравнения плоскостей, проходящих через прямую

и касающихся сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-4 y-6 z-67 = 0$.

Составить уравнение сферы, проходящей через окружность

и через начало координат.

Доказать, что линия пересечения двух параболических цилиндров $y^{2} = x, z^{2} = 1-x$ лежит на круглом цилиндре. Каково уравнение этого цилиндра?

Доказать, что параболоид вращения и круглый цилиндр, оси которых параллельны, пересекаются по эллипсу, большая ось которого лежит в плоскости, проходящей через оси данных поверхностей.

По какой линии пересекаются однополостный гиперболоид $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1, a > b$, и сфера $x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}$?

Доказать, что линия пересечения параболического цилиндра $z^{2} = x+y$ с параболоидом вращения $x^{2}+y^{2} = z$ лежит на сфере. Найти центр и радиус этой сферы.

По какой линии пересекаются эллиптический параболоид $\frac{x^{2}}{p}+\frac{y^{2}}{q} = 2 z, p > q > 0$, и сфера $x^{2}+y^{2}+z^{2} = 2 p z$?

Доказать, что ортогональная проекция любого плоского сечения параболоида вращения на плоскость, перпендикулярную оси параболоида, есть окружность или прямая.

По какой линии пересекаются два эллипсоида

Найти линию пересечения поверхностей $x^{2}+y^{2}-z^{2} = a^{2}$, $x^{2}-y^{2} = 2 a z$.

Найти острый угол между образующими конуса $x^{2}+y^{2}- -z^{2} = 0$, по которым его пересекает плоскость $5 x+10 y-11 z = 0$.

Определить вид и расположение линии пересечения плоскости $x = 9$ и гиперболоида

Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости $O y z$ и пересекающей однополостный гиперболоид

по гиперболе, действительная полуось которой равна 1.

Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы плоскость $z = a x+b y+c$ пересекала параболоид вращения $x^{2}+y^{2} = 2 p z(p > 0)$ по действительному эллипсу.

По какой линии пересекаются гиперболический параболоид

и плоскость $2 x+3 y-6 = 0$?

Составить уравнение поверхности второго порядка, зная, что она пересекает плоскость $O x y$ по окружности $x^{2}+y^{2}-12 x- -18 y+32 = 0, z = 0$, а плоскости $O x z$ и $O y z$ — по параболам, оси которых параллельны положительному направлению оси $O z$, причем параметр параболы, лежащей в плоскости $O x z$, равен 1.

Написать уравнение поверхности второго порядка, пересекающей плоскость $O x y$ по параболе, а плоскости $O x z$ и $O y z$ — по окружностям радиусом $r$, касающимся положительных полуосей координат. Пользуясь преобразованием прямоугольных координат, привести уравнение к каноническому виду.

Найти геометрическое место фокусов гипербол, получающихся при пересечении гиперболического параболоида

плоскостями, параллельными плоскости Oxy.

Составить уравнение поверхности второго порядка, проходящей через точки $(0,0,0),(1,1,-1),(0,0,1)$, для которой плоскости

являются плоскостями симметрии. Написать каноническое уравнение этой поверхности и указать ее тип.

Составить уравнение поверхности второго порядка, для которой плоскости

являются плоскостями симметрии и которая проходит через точки $(1,0,0),(0,-1,0),(1,1,-1)$.

Найти тип поверхности, состоящей из прямых, по которым пересекаются взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через две данные прямые, в зависимости от взаимного расположения последних.

Найти геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных скрещивающихся прямых есть одно и то же число $k$.